Критическая нагрузка для стержня с шарнирно закрепленными концами. Формула Эйлера.

Рассмотрим двухопорный стержень (рис. 12.31), сжатый осевыми силами N, и предположим, что стержень получил прогиб в плоскости .

Рис. 12.30. Потеря устойчивости стержня при сжатии

Рис. 12.31. Потеря устойчивости двухопорного стержня

Если в сечении стержня возникнут изгибающие моменты, способные удержать стержень в изогнутом состоянии, то первоначальная прямолинейная форма равновесия стержня окажется неустойчивой.

Уравнение изгиба стержня имеет вид

Изгибающий момент в сечении равен

Из уравнений (163) и (164) получаем дифференциальное уравнение изгиба стержня

где

Решение уравнения (165) можно записать в виде

где — произвольные постоянные.

При прогиб поэтому получаем

Прогиб снова обращается в нуль при и потому

Здесь так как при прогиб стержня вообще отсутствует, а рассматривается изогнутое состояние стержня. При

и, следовательно,

где . Значение не представляет интереса, так как соответствует прямолинейному состоянию стержня.

Равенства (166) и (170) приводят к формуле Эйлера

Из соотношения (171) вытекает, что имеются бесчисленные значения N, при которых могут существовать изогнутые формы равновесия стержня.

Наименьшее значение осевой силы (первое критическое значение) получается при

При уже возможна потеря устойчивости стержня, и поэтому значение осевой силы, найденное по формуле (172), называется критическим.

При рассмотрении изогнутого состояния предполагалось, что изгиб происходит в плоскости . Точно такой же вывод справедлив и для изгиба в другой главной плоскости, что дает

Очевидно, выпучивание при действии усилия произойдет раньше в той плоскости, где жесткость сечения меньше. Поэтому формулу для определения критической силы записывают в таком виде:

Замечания. 1. Уравнение (165) имеет решение что соответствует прямолинейной форме равновесия. При возможны две формы равновесия: первоначальная прямолинейная форма и изогнутая форма равновесия

Прямолинейная форма равновесия оказывается устойчивой при и неустойчивой при . Изогнутая форма равновесия (174), наоборот, будет устойчивой при Существование новой устойчивости форм равновесия отдельного элемента при неустойчивость прежней прямолинейной формы делают конструкцию в целом неустойчивой: при возрастании силы N может произойти выпучивание — система (стержень) внезапно перейдет к другой форме равновесия, прогибы стержня и напряжения в нем резко возрастают.

2. Более детальный анализ показывает, что при всех высоких значениях критической силы (при ) равновесие оказывается неустойчивым; практическое значение имеет только первая критическая сила, или просто критическая сила (формула (172)).

3. Существенным моментом вывода уравнения (165) явилось составление условия равновесия (164) для стержня (системы) в деформированном состоянии. В этом уже содержится отказ от линейной постановки задачи, при которой перемещения считаются настолько малыми, что деформированное и недеформированное состояния при составлении условий равновесия не различаются (принцип начальных размеров).

4. Рассматриваемая модель устойчивости стержня (уравнение (165) и рис. 12.32) является приближенной. Она позволяет найти критическое значение силы из условия существования нетривиального (ненулевого) решения однородного линейного дифференциального уравнения.

Рис. 12.32. К составлению уравнения устойчивости при отрицательном прогибе

Рис. 12.33. Сближение конусов стержня при его изгибе

Это — задача о собственных значениях, которая была основной при изучении собственных колебаний (разд. 39). Величина прогибов определяется решением (168) с точностью до масштаба величины С. Модель не дает возможности описать состояние системы при .

Более точная модель основана на строгой нелинейной постановке задачи.

Сделав один шаг по учету деформированного состояния — приняв во внимание изгибающий момент от осевой силы, следовало бы сделать и второй шаг — уточнить краевые условия при так как вследствие изгиба стержня происходит смещение опоры на величину (рис. 12.33).

Пренебрегая деформацией сжатия стержня, можем представить, что элемент стержня проектируется на ось z как отрезок и в результате

Краевое условие на втором конце стержня будет таким:

Далее следует использовать точпое выражение для кривизны стержня, и тогда дифференциальное уравнение изгиба становится следующим:

Уравнение (178) и краевое условие (15) позволяют получить точное решение. Не рассматривая самого решения, укажем простую зависимость, вытекающую из него;

Например, если усилие N превысит критическое значение на 1,5%, стержень длиной 1 м получит прогиб 11 см.

Для практики важно установить усилие, при котором конструкция перестает быть работоспособной. Рассматриваемая приближенная модель позволяет это сделать.

5. Вид дифференциального уравнения (165), разумеется, не зависит от того, в какую сторону предполагался изгиб стержня. На рис. 12.32 показан стержень с отрицательными прогибами. Это вполне согласуется с решением (168), где величина может быть произвольной, в том числе отрицательной.

Изгибающий момент (см. рис. 12.32)

что приводит к уравнению (165).