Применение метода Рэлея — Ритца к задаче изгиба стержня.

Метод Рэлея — Ритца применяется для решения многих задач определения напряжений и деформаций в твердых деформируемых телах. Покажем алгоритм метода на простом примере изгиба стержня постоянного сечения под действием равномерной нагрузки (рис. 9.12).

Полная потенциальная энергия деформации

В соответствии с равенством (67) примем прогиб стержня равным

где — возможные функции для прогиба стержня.

В рассматриваемом примере они должны удовлетворять наложенным (геометрическим) связям

Можно принять

Решим сначала задачу с одним параметром, положив

Внося значения в равенство (92), находим

Из условия

находим

Наибольший прогиб составит

что отличается от точного значения (см. разд. 34)

Для уточнения решения примем

и далее

Дифференцируя последнее соотношение по получаем систему уравнений

или

Из последних уравнений находим

и далее

(96)

Наибольшее значение прогиба равно

что совпадает с точным решением.

Как видно, добавление одного параметра в ряде (93) существенно повысило точность расчета.