Толстостенная труба под действием внутреннего и внешдего давлений.
Рассмотрим равномерно нагретый цилиндр с постоянными параметрами упругости вдоль радиуса, нагруженный давлением (рис. 14.5); вращение отсутствует ( 
), и торцы цилиндра свободны от напряжений. Для указанного случая 
и дифференциальное уравнение (21) будет таким:
Решение уравнения (24) можно искать в следующем виде:
Рис. 14.5. Цилиндр под действием внутреннего и внешнего давлений
После подстановки в уравнение (24)
приходим к характеристическому уравнению 
корни которого равны 
Решение уравнения (24) будет таким:
где 
— произвольные постоянные. Этот же результат можно получить другим путем. Из уравнения (24) имеем
(27)
Перенося 
в правую часть равенства и интегрируя, получаем
что совпадает с решением (26). Так как на торцах цилиндра внешние усилия отсутствуют, то можно положить 
и воспользоваться соотношениями (17) и (18), пренебрегая температурными членами. Тогда
Подставляя и из уравнения (26), находим
Постоянные 
следует определять из краевых условий (для радиальных напряжений)
Будем иметь
Из последних соотношений находим
Внося значения 
в равенства (31) и (32), получаем формулы Ламе
(36)
Для радиального перемещения из соотношений (26) и (35) устанавливаем следующую зависимость:
Замечания. 1. Обоснованность предположения, что 
сделанного при построении решения, доказывается следующим образом. Из уравнений (31) и (32) (или (36) и (37)) вытекает, что на всех радиусах
Так как в рассматриваемых задачах 
, то из соотношения (10) при 
получаем, что напряжение 
также должно быть постоянным. Внешнее усилие вдоль оси цилиндра отсутствует, и потому напряжение 
должно обращаться в нуль (иначе условия равновесия не удовлетворяются).
2. Для сплошного цилиндра в общем решении (26) следует положить 
так как при 
перемещение 
при 
. Из условия на внешнем контуре (34) получим
и тогда из соотношений (29) и (30)
Интересный результат!
3. Напряжение в цилиндре не зависит от природы упругого материала, формулы (36) и (37) не содержат модуля упругости и коэффициента Пуассона.
4. Формулы для напряжений в цилиндре были впервые получены Ламе (1795—1870) — французским ученым, долгое время работавшим в России.
