Стержень прямоугольного сечения.

В этом случае (рис. 7.22) решение получается более сложным. Оно представляется в виде ряда Фурье

где — функции, подлежащие определению.

Так как функция (прогибы мембраны) должна обращаться в нуль на контуре, то в (104) используются только нечетные значения к ).

Внося выражение (104) в уравнение (82), находим

Для решения разложим правую часть уравнения в следующий ряд:

где коэффициенты могут быть найдены общим способом (умножением обеих частей равенства (106) на и интегрированием по х в пределах от до

Рис. 7.21. Линии равных значений осевого перемещения при кручении стержня (гиперболы ); вдоль линий смещения отсутствуют

Рис. 7.22. Кручение стержня прямоугольного сечения — распределение касательных напряжений в точках контура

Тогда из (85) следует, что функции должны удовлетворять уравнениям

Две постоянные при решении уравнений (107) определяются из условия

Опуская подробности решения, приведем конечные результаты: геометрическая жесткость на кручение )

(108)

момент сопротивления кручению

Максимальное касательное напряжение (оно действует в точках В и в середине длинной стороны прямоугольника)

Значения коэффициентов даны в таблице 3 в зависимости от отношения

Таблица 3. Коэффициенты для геометрической жесткости и моментов сопротивления при кручении стержня прямоугольного сечения

Примерная эпюра распределения касательных напряжений вдоль контура сечения показана на рис. 7.22. В середине малой стороны

причем значение к изменяется от при до при

Для коэффициентов можно использовать приближенные формулы

Для сильно вытянутого прямоугольника