§ 2. Степени и корни

9. Степени с натуральными показателями.

Пусть а — произвольное действительное число, а — натуральное число. Произведение

сомножителей, равных а, называется степенью числа а и обозначается через При этом а называется основанием, а — показателем степени. При просто полагают . Таким образом, степень определяется при любых натуральных значениях n. Поскольку действие возведения в натуральную степень определено через действие умножения, то оно рассматривается как рациональное (арифметическое) действие. Отметим некоторые свойства этого действия.

1) При любых натуральных

Это следует из записи

Таким образом, при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степени складываются.

Действительно, это следует из равенства

3) При любых натуральных

Действительно, по определению n-й степени числа имеем

и по свойству 1)

что и требовалось получить.

Итак, при возведении степени в степень показатели степени перемножаются.

Доказательство свойств 4) и 5) предоставляется читателю.