§ 2. Измерение геометрических величин

162. Сложение отрезков. Длина отрезка.

Введенное в п. 160 движение фигур позволило нам сравнивать между собой отрезки или углы, установить между данными отрезками отношения =, < , > (равенство или неравенство). Можно также ввести действия сложения и вычитания отрезков. Так, пусть даны отрезки АВ и CD. Приложим CD к АВ так, чтобы CD составил продолжение АВ (рис. 161).

Тогда отрезок AD или любой отрезок, равный ему, мы назовем суммой отрезков АВ и

Разность отрезков определяется аналогичным образом: на большем отрезке от одного из его концов откладываем меньший отрезок, оставшийся отрезок называется разностью.

Рис. 161.

Рис. 162.

Рис. 163.

На рис. 162 отрезок BD (или любой равный ему) будет разностью отрезков CD и АВ.

Для суммы и разности применяются обычные обозначения:

и справедливы обычные законы сложения и вычитания:

если

Отрезки можно умножать на целые положительные числа. Так, (рис. 163). Тем самым определяется и деление отрезка на натуральное число: это отрезок АВ такой, что . Понятно и обозначение типа . Это отрезок, который получается, если разделить CF на три равные части и взять две из них.

Определение понятия длины отрезка состоит в указании процесса ее измерения; при этом измерение длины отрезка основано на выборе некоторой единицы длины: какой-либо отрезок ОЕ (рис. 164) принимается за масштаб, т. е. за единицу измерения.

Рис. 164.

Рис. 165.

Его длина объявляется равной единице. Пусть АВ — любой другой отрезок. Откладываем единичный отрезок на АВ столько раз (может быть, и нуль раз!), сколько он поместится на АВ целиком. На рис. 164 масштабный отрезок уложился в АВ ровно 6 раз. Поэтому длину АВ считаем равной 6 единицам длины ОЕ. В отрезке CD (рис. 165) масштабный отрезок укладывается 3 раза, но не может быть уложен 4 раза.

Для измерения остатка берем отрезок, составляющий ровно одну десятую часть масштабного отрезка (т. е. укладывающийся в нем ровно десять раз без остатка). Этой десятой долей единицы длины измеряем остаток MD; в нашем случае MD составил 7 десятых единицы длины и образовался еще некоторый остаток, который придется уже измерять одной сотой долей масштабного отрезка. Такой процесс измерения продолжается бесконечно, если только на некотором этапе доля масштабного отрезка не уложится в очередном остатке ровно целое число раз. Таким образом, получается некоторая конечная или бесконечная десятичная дробь, т. е. действительное число, которое и принимают за длину отрезка при выбранном масштабном отрезке. На практике, конечно, длины задаются с известной степенью точности.

Обратно, если известна длина отрезка, например , то, имея масштабный отрезок, можно построить и отрезок заданной длины: сначала откладываем на некоторой прямой а масштабный отрезок 3 раза, затем его десятую долю 4 раза и т. д. В случае бесконечной десятичной дроби мы можем про-Еести построение с той или иной степенью точности.

Из алгебры нам известно, что все действительные числа подразделяются на рациональные (выражаемые конечными или периодическими дробями) и иррациональные, выражаемые бесконечными непериодическими дробями (п. 6). Соответственно и длина отрезка, представимая десятичной дробью, может быть (при данной единице длины!) рациональной или иррациональной.

Определенные в геометрической форме действия сложения, вычитания, умножения на число находятся в полном согласии с арифметическими действиями над длинами отрезков. Так,

и т. д. Слово «длина» в таких случаях в дальнейшем опускается. Действие умножения на число распространяется и на иррациональные множители. Так, АВ — это отрезок, длина которого в раз больше длины отрезка АВ.

Отношением двух отрезков мы назовем отношение их длин. Так как по определению длина то численно

отрезка равна его отношению к единичному отрезку.

Если вместо данной единицы длины ОЕ выбрать новую то численно длина любого отрезка АВ будет выражаться отношением , т. е. изменится в К раз. Например, если см, то отрезок будет теперь равен см.

Отношение двух отрезков не зависит от выбора масштаба.