239. Связь между перпендикулярностью и параллельностью прямых и плоскостей.

Справедливы следующие утверждения, устанавливающие связь между параллельностью и перпендикулярностью:

1. Две плоскости, перпендикулярные к одной и той же прямой, параллельны.

Доказательство. Через данную прямую а (рис. 343) проведем секущую плоскость в пересечении с плоскостями , по условию перпендикулярными к прямой а, получим две линии .

Как два перпендикуляра к одной прямой, лежащие в одной и той же плоскости они будут параллельны между собой. Итак, в плоскостях мы получили две параллельные прямые b и . Проведя другую секущую плоскость получим в плоскостях пары пересекающихся прямых и , соответственно параллельных друг другу, что и доказывает параллельность плоскостей .

2. Прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна и к другой.

3. Перпендикуляры, проведенные к параллельным плоскостям, параллельны. Плоскости, перпендикулярные к параллельным, прямым, параллельны.

Доказательство свойств 2 и 3 предоставляем читателю.

4. Проекции параллельных прямых на параллельные плоскости параллельны.

Доказательство. Пусть прямые а и а параллельны и плоскости также параллельны (рис. 344). Для построения проекции прямой а на плоскость опустим из любой точки М. прямой а перпендикуляр на плоскость . Проекцию можно определить как пересечение плоскости, содержащей прямую а и этот перпендикуляр, с данной плоскостью . При аналогичном построении второй проекции плоскость, содержащая прямую а и перпендикуляр, опущенный из одной из ее точек на , будет параллельна такой же плоскости в построении первой проекции. Обе проекции будут параллельны, как линии пересечения пар соответственно параллельных плоскостей.

Рис. 344.

Рис. 345.