27. Логарифмы по различным основаниям. Модуль перехода.

Здесь мы установим некоторые свойства, относящиеся к логарифмам по различным основаниям. Для удобства продолжим нумерацию свойств п. 26,

Свойство 8. При вождении основания в некоторую (ненулевую) степень логарифм делится на этот показатель степени:

Доказательство. Пользуясь основным тождеством (26.1), находим последовательно

откуда

т. е. , что и требовалось получить.

Следствие. При возведении основания и числа в одну и ту же (ненулевую) степень логарифм не изменяется.

Доказательство. Последовательно применяя свойства 8 и 6, находим

Пример 1. Выразить через логарифм по основанию 3:

Решение. Имеем

Пример 2. Вычислить

Решение. Перепишем данное выражение, сведя основания логарифмов к 5:

Свойство 9. Если а, N положительны и оба не равны единице, то

Доказательство. Напишем основное тождество

и прологарифмируем обе его части по основанию N (это возможно, так как применив свойства 4 и 1:

Свойство 9 доказано.

Следующее важнейшее свойство дает общее правило перехода от логарифмов с основанием а к логарифмам с другим основанием b:

Свойство 10. Имеет место следующее равенство:

которое также в силу свойства 9 пишут в виде

Коэффициент в формуле (27.3) называют модулем перехода от логарифмов по основанию а к логарифмам по основанию b.

Доказательство. Напишем снова основное тождество

и прологарифмируем обе его части по основанию а:

Отсюда прямо вытекает требуемое равенство (27.3).

Пример 3. Упростить выражение . Решение. В силу (27.4) и (27.2) имеем

Упражнения

1. Найти:

2. Найти а, если:

3. Найти N, если:

4. Вычислить:

5. Прологарифмировать:

а) 8/4 по основанию 2; б) по основанию 3; в) по основанию а.

6. Потенцированием найти N, если:

7. Выразить в виде логарифма по основанию 2:

8. Вычислить: .