223. Решение косоугольных треугольников.

Задача I. Даны сторона а и два угла А и В; предполагается, что

Угол С находим сразу же:

Остальные основные элементы треугольника (стороны b и с) можно найти, например, по теореме синусов (221.3):

Задача всегда имеет решение, и притом единственное.

Пример 1. Дано: Найти С, b и с.

Решение. Стороны b и с найдем двумя способами: при помощи таблиц натуральных значений тригонометрических функций (приложение I) и при помощи логарифмических таблиц (Брадис).

а) При помощи таблиц натуральных значений тригонометрических функций (приложение I):

и

Далее имеем

При вычислении b и с деление на можно заменить умножением на обратное ему число , которое можно найти, например, по таблице II (Брадис): . Для контроля используем, например, первую из формул (221.1):

Небольшое расхождение результатов (менее 0,2%) 1600 1597 можно отнести за счет погрешности таблиц и вычислений. Результаты можно признать совпадающими.

б) При помощи логарифмических таблиц (Брадис): имеем откуда . В нашем случае

По таблице Брадиса: . Аналогично вычисляется сторона

В нашем случае

По таблице Брадиса: .

Мы видим, что результаты, полученные способами а) и б), совпадают с точностью до трех знаков.

Задача II. Даны две стороны а и b и угол С между ними.

а) Решение при помощи таблиц приложения I. Сторону с можно найти по теореме косинусов (221.1):

Зная три стороны, можно, снова применив теорему косинусов, найти Так как , то

Наконец,

б) Решение при помощи логарифмических таблиц. Если при решении треугольника мы будем пользоваться логарифмическими таблицами, то формулы, использованные в первом способе решения, неудобны. Углы А и В в атом случае лучше находить при помощи теоремы тангенсов (221.4).

Заметив, что мы можем писать

После этого формула (221.4) примет вид

Так как то и нахождение углов А и В сводится к решению системы уравнений

Сторону с можно определить по теореме синусов:

Пример 2. Дано: Найти с, А и В.

а) Решение при помощи таблиц натуральных значений тригонометрических функций (Брадис). По теореме косинусов в нашем случае имеем

(По таблице VIII Брадиса ). По таблице IV Брадиса (Квадратные корни) находим с Применив снова теорему косинусов, но теперь уже для нахождения угла , будем иметь

Наконец, . Для контроля используем, например, теорему синусов: . В нашем случае

Имеется удовлетворительное совпадение результатов.

б) Решение при помощи логарифмических таблиц (Брадис). Используя теорему тангенсов, будем иметь

(формулу (223.1) мы пишем в виде (223.2), ибо у нас Найдем при помощи логарифмических таблиц. Прологарифмировав. (223.2), получим

В нашем случае

Углы А и В находим из системы уравнений

. Если последние результаты мы округлим до минут, то получим Сторону с можно, например, определить по теореме синусов:

Мы видим, что результаты, полученные способами а) и б) для углов, совпадают с точностью до минуты, а для стороны с совпадают три знака.

Задача III. Даны две стороны треугольника (а и b) и угол, лежащий против одной из них, например угол А. Эта задача принципиально отличается от двух предыдущих, так как задание двух сторон и угла, лежащего против одной из них, может определять треугольник неоднозначно (в п. 189 уже было отмечено, что построение треугольника по этим данным может привести либо к двум различным треугольникам, либо к одному, либо задача вообще может не иметь решений).

Проведем полное исследование задачи. Рассмотрим три случая: .

1) (данный угол А лежит против большей из двух данных сторон).

Соответствующая задача на построение всегда имеет решение, и притом единственное. На рис. 305 показано, как строится треугольник, если: а) угол А тупой

Рис. 305.

Рис. 306.

Рекомендуем читателю построить треугольники, рассмотрев остальные две возможности: б) А — прямой угол; в) А — острый угол.

Острый угол В, который лежит против меньшей стороны b, можно найти, например, по теореме синусов: , откуда Третий угол С находится из равенства Третью сторону с можно найти, например, по теореме синусов: Итак, если и дан угол А, лежащий против большей стороны а, то задача имеет решение, и притом только одно.

2) а < b (данный угол А лежит против меньшей из двух данных сторон). Заметим, что если угол А 90° (A тупой или прямой), то задача не имеет решения, ибо ни тупой, ни прямой угол не может лежать против меньшей стороны. Остается рассмотреть случай, когда угол). Изучим нашу задачу и соответствующую задачу на построение. При этом придется различать три возможности:

а) Окружность радиуса с центром в точке С пересечет другую сторону угла А в двух точках . Это будет иметь место при условии, что , где CD — перпендикуляр, опущенный из С на вторую сторону угла А.

Учитывая, что (из прямоугольного треугольника ADC), последнее неравенство можно заменить неравенством или неравенством .

Итак, если то соответствующая задача на построение, а следовательно и наша задача, будет иметь два решения. В качестве угла В можно взять острый угол или тупой угол .

Оба значения угла В находятся из уравнения синусов): . Угол и угол . Стороны находятся по теореме синусов:

б) Окружность радиуса с центром в точке С не пересечет другой стороны угла А (рис. 307). Этот случай будет иметь место при условии, что

Рис. 307.

Рис. 308.

Учитывая, что (из прямоугольного треугольника ADC), последнее неравенство можно заменить неравенством или неравенством .

Итак, если , то соответствующая задача на построение, а следовательно и наша задача, решения не имеет.

в) Окружность радиуса с центром в точке С коснется другой стороны угла А (рис. 308). Учитывая, что (из прямоугольного треугольника ABC), последнее равенство можно заменить равенством , Итак, если , то соответствующая задача на построение, а следовательно и наша задача, имеет решение, и притом единственное.

3) а = Ь (рис. 309). Искомый треугольник равнобедренный. Решение сводится к построению прямоугольного треугольника ADC с гипотенузой b и острым углом А. Искомый треугольник ABC будет состоять из двух таких равных прямоугольных треугольников (ADC и BDC). Если и угол А острый, то задача имеет решение, и притом единственное.

Остальные основные элементы треугольника находятся по формулам .

Результаты, полученные при решении задачи III, можно представить в виде одной таблицы-схемы.

Пример 3. Даны две стороны и угол . Найти В, С и с.

Решение. В нашем случае и угол . Чтобы узнать, сколько возможно решений, найдем Имеем откуда видим, что , т. е. треугольника с данными нашей задачи не существует.

Рис. 309.

Пример 4. Даны две стороны и угол . Найти В, С и с.

Решение. В нашем случае опять и угол . Снова ищем произведение . На этот раз

т. е. , и задача имеет два решения (см. рис. 306). По теореме синусов

Имеем два решения:

1. . По той же теореме синусов

Задача IV. Даны три стороны треугольника. Без ограничения общности будем считать, что . По трем данным сторонам можно построить единственный треугольник, если , т. е. большая сторона меньше суммы двух других сторон. Если же , то треугольника со сторонами а, b и с не существует. В дальнейшем будем считать, что

а) Решение при помощи таблиц натуральных значений тригонометрических функций. Два угла треугольника можно найти по теореме косинусов:

как и

Угол С можно уже найти проще: .

б) Решение при помощи логарифмических таблиц. Если при решении треугольника мы будем пользоваться логарифмическими таблицами, то теорема косинусов для этого неудобна. Можно, например, поступить так. Сначала найти площадь S треугольника по формуле Герона (221.6):

Затем, воспользовавшись формулой найти

Так как мы предположили, что а — не наибольшая сторона, то угол А острый Аналогично получаем Угол .

Пример 5. Дано: Найти А, В и С. В данном случае и пример имеет решение.

а) Решение при помощи таблиц натуральных значений тригонометрических функций. Согласно формулам (223.3) имеем

Угол С находим так: .

б) Решение при помощи логарифмических таблиц. Согласно предыдущему имеем

откуда

В нашем случае

Продолжаем работу с логарифмами, ибо сама площадь (S) в этом примере нас не интересует. Итак,

Аналогично определяем угол В. Имеем

Теперь находим

Упражнения

1. Найти по таблицам Брадиса:

2. Найти с помощью обратной линейной интерполяции по таблицам Брадиса:

3. Найти острый угол по таблицам Брадиса, если известно, что:

Решить прямоугольные треугольники по указанным данным катеты, с — гипотенуза):

а) ; использовать таблицы тригонометрических функций (приложение I);

б) ; использовать логарифмические таблицы;

в) ; использовать таблицы приложения 1;

г) ; использовать логарифмические таблицы.

5. Решить треугольники по указанным данным