80. Неравенства высших степеней. Неравенства, содержащие дробные рациональные функции от х.

Рассмотрим теперь неравенства вида

или

(в левой части этих неравенств помещается, соответственно, целая или дробная рациональная функция от х (п. 50)).

Такие неравенства решают путем разложения входящих в них многочленов на множители, после чего оказывается достаточным установить знак левой части неравенства в каждом из интервалов, на которые числовая ось разбивается действительными корнями функции (корнями числителя и знаменателя дробной функции ).

Пример 1. Решить неравенства: а)

Решение, а) Для разложения кубического многочлена на множители найдем его корни. Легко заметить, что делитель 1 свободного члена является одним из корней многочлена (см. п. 62); другие корни равны 2 и 3, так что неравенство запишется в виде

Теперь видно, что для все три множителя отрицательны, произведение отрицательно. При первый множитель положителен, два других отрицательны. Продолжая такие же рассуждения, найдем, что многочлен положителен в интервалах и отрицателен в интервалах Множество решений неравенства состоит из интервалов .

б) Для разложения левой части неравенства на множители находим ее корни; имеем биквадратное уравнение

Находим Запишем разложение левой части неравенства на множители:

или

Так как при любых , то неравенство заменяется равносильным:

Множеством его решений служит сегмент

в) Неравенство удовлетворяется при всех значениях множество его решений состоит из интервалов

Сходным образом решаются и дробные неравенства.

Пример 2. Решить неравенство

Решение. Начнем с предостережения: не следует делать «очевидного» упрощения, состоящего в том, чтобы умножить неравенство на знаменатель дроби; знаменатель может быть как положительным, так и отрицательным, и в зависимости от его знака при умножении придется рассматривать два случая.

Вместо этого перенесем все члены неравенства в одну часть. Получаем

Удобно изменить знак в числителе, одновременно изменив и знак неравенства:

В интервале левая часть положительна, в интервале - отрицательна, в интервале вновь положительна. Область решений — интервал (4, 15).

Пример 3. Найти все значения для которых

Решение. Из определения модуля следует, что равенство (80.3) равносильно неравенству

Запишем его в виде

Неотрицательные значения левая часть неравенства принимает в интервалах . Точки входят в области решений. В них левая часть неравенства обращается в нуль, а это допускается знаком нестрогого неравенства.

Пример 4. При каких значениях а корни квадратного уравнения

действительные положительные?

Решение. Корни трехчлена будут действительными при условии, что его дискриминант неотрицателен:

Так как произведение корней по теореме Виета равно то при положительных корнях должно быть то же время из равенства ясно, что корни будут положительными при выполнении условия

(так как то знаки корней одинаковы и совпадают со знаком ).

Итак, решение примера 4 свелось к решению системы неравенств

Второе неравенство имеет множество решений, состоящее из интервалов Первое неравенство перепишем в виде

и так как у нас не входят уже во множество решений второго неравенства системы), то останется решить неравенство

Множеством его решений служит замкнутый интервал

Точки, одновременно удовлетворяющие обоим неравенствам системы, заполняют интервалы и (0, 3]. Корни данного уравнения (80.4) действительны и положительны, если