§ 2. Метрические соотношения в треугольнике

216. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора.

Рассмотрим произвольный прямоугольный треугольник ABC (рис. 293) и проведем высоту из вершины С его прямого угла. Она разобьет данный треугольник на два прямоугольных треугольника АСН и каждый из этих треугольников имеет с треугольником ABC общий острый угол и потому подобен треугольнику ABC. Все три треугольника ABC, АСН, ВСН подобны между собой.

Из подобия треугольников ABC и АСН имеем или , откуда , т. е. высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, равна среднему геометрическому отрезков на которые она разбивает гипотенузу:

утверждения доказана.

С помощью формулы (217.3) легко доказывается следующая

Теорема 2. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов четырех его сторон.

Доказательство. Обозначим стороны параллелограмма через а и b, диагонали — через один из углов параллелограмма через а (рис. 299). Диагонали можно рассматривать как стороны BD и АС треугольников ABD и ABC, лежащие против углов а и по теореме косинусов находим

откуда

Рис. 299.

Рис. 300.