§ 3. Системы алгебраических уравнений

66. Линейные системы.

Система уравнений вида

называется системой алгебраических уравнений, если левые части уравнений являются целыми рациональными выражениями относительно неизвестных . Если левые части линейны относительно неизвестных, то система называется линейной системой уравнений. Обычно линейную систему уравнений с двумя или тремя неизвестными записывают, соответственно, в виде

и

вставляя в левых частях члены, содержащие неизвестные, а в правых — свободные члены системы.

Рассмотрим систему двух уравнений с двумя неизвестными (66.2) и будем решать ее методом исключения; исключить неизвестную у — это значит найти такое следствие нашей системы, которое уже не содержало бы у. Для получения такого уравнения умножим первое уравнение системы (66.2) на а второе на получим

Вычтем теперь второе уравнение этой системы из первого. При этом члены, содержащие у, уничтожатся, и мы получим

В этом уравнении исключена неизвестная у.

Обратимся снова к системе и умножим ее первое уравнение на , а второе на получим

Вычтем из второго уравнения этой системы первое:

Таким образом, мы из системы (66.2) исключили .

Заметим, что в уравнении (66.4) коэффициент при х такой же, как и коэффициент при у в уравнении (66.5). Для сокращения записей введем следующие обозначения;

(греческая буква читается «дельта»). Уравнения (66.4) и (66.5) при этом перепишутся так:

Предположим теперь, что . Тогда из уравнений (66.9) и (66.10) делением на найдем

Уравнения (66.9) и (66.10) являются следствиями основной системы (66.2). Так как каждое решение системы (66.2) должно удовлетворять и уравнениям (66.9), (66.10), то система не может иметь никаких других решений, кроме решения, определяемого равенствами (66.11). Это рассуждение еще не доказывает, что (66.11) действительно является решением системы. Чтобы в этом убедиться, следует выражения х, у, заданные равенствами (66.11), подставить в уравнения системы (66.2) и проверить, что они обращаются в тождества. Произведем эту проверку, например, для первого уравнения системы (для второго читатель повторит аналогичные вычисления самостоятельно). Подставляем в левую часть первого из уравнений (66.2) и производим тождественные преобразования:

Результат подстановки х и у в уравнение дал нам, как и требовалось, правую часть си уравнение удовлетворено.

Пример 1. Решить систему уравнений

Решение. Умножим первое уравнение на 7, а второе на (-2):

Вычтем из первого уравнения второе; получим

откуда х = 1.

Теперь проще всего подставить найденное значение х = 1 в одно из уравнений системы. Тогда найдем значение второй неизвестной у = -1. Система имеет решение которое коротко записывается так: (1, —1).

Для исключения неизвестной из уравнений системы применяют также прием, называемый методом подстановки. Он состоит в том, что с помощью одного из уравнений системы одну неизвестную выражают через другую и найденное выражение подставляют в оставшееся уравнение системы. Так, в примере 1 из второго уравнения находим

Подставляя это выражение в первое уравнение системы, найдем

откуда легко получить у = -1; далее находим х:

и снова получаем решение (1, —1) системы (66.12).

Для решения системы трех уравнений с тремя неизвестными (66.3) применйм тот же прием: можно из одного уравнения выразить, например, неизвестную х через две остальные неизвестные и подставить в два других уравнения системы. Получим систему двух уравнений с двумя неизвестными. Можно поступить и по-другому: из двух уравнений, системы выразить две неизвестные через третью и подставить эти выражения в последнее уравнение системы, которое превратится в уравнение с одной неизвестной. Покажем пример решения системы вторым из указанных приемов.

Пример 2. Решить систему уравнений

Решение. Первые два уравнения перепишем так:

Исключим из этой системы неизвестную у. Для этого первое уравнение умножим на 5, второе на 3 сложим полученные равенства:

аналогично исключаем х:

Подставим найденные выражения через в третье уравнение данной системы:

Получилось уравнение первой степени относительно . Из него находим . В таком случае

Итак, данная система имеет следующее единственное решение:

Короче это решение запишем так: .