§ 4. Решение тригонометрических неравенств

154. Простейшие тригонометрические неравенства.

При решении тригонометрических неравенств мы будем использовать свойства монотонности и графики соответствующих тригонометрических функций, а также тот факт, что основной период функций sinx и cosx равен основной период функции равен .

I. Неравенство вида

Если то неравенство (154.1) не имеет решений, а если —1, то неравенству (154.1) удовлетворяет любое Поэтому интерес представляют случаи, когда

Рассмотрим один из случаев.

1) Решить неравенство

Решение. Рассмотрим отрезок оси Ох. На рис. 127 (стр. 319) видно, что неравенству удовлетворяют все лежащие в отрезке . Так как , то решение данного неравенства на отрезке имеет вид

Учитывая, что функция периодическая, с периодом, равным мы получаем, что во всех отрезках вида

II. Неравенство вида

Если 1, то неравенству (154.2) удовлетворяет любое а если то неравенство (154.2) не имеет решений. Поэтому интерес представляют случаи, когда

Рассмотрим один из случаев.

2) Решить неравенство

Решение. Рассмотрим отрезок длины на стр. 319). Видно, что данному неравенству удовлетворяют все лежащие в отрезке Заметим, что Следовательно, на отрезке решение данного неравенства имеет вид

Учитывая, что функция периодическая, с периодом, равным мы получаем, что во всех отрезках вида

III. Неравенство вида

Если то неравенство (154.3) не имеет решений, а если то неравенству (154.3) удовлетворяет любое Поэтому интерес представляют случаи, когда

Рассмотрим один из случаев.

3) Решить неравенство

Решение. Рассмотрим отрезок оси Ох. На рис. 129 (стр. 321) видно, что неравенству cosx а удовлетворяют все лежащие в отрезке . Так как , то решение данного неравенства на отрезке имеет вид

Учитывая, что функция периодическая, с периодом, равным мы получаем, что во всех отрезках вида

IV. Неравенство вида

Если 1, то неравенству (154.4) удовлетворяет любое х, а если , то неравенство (154.4) не имеет решений. Поэтому интерес представляют случаи, когда

Рассмотрим один из случаев.

4) Решить неравенство

Решение. Рассмотрим отрезок оси Ох. На рис. 129 (стр. 321) видно, что данному неравенству удовлетворяют все лежащие в отрезке . Так как , то решение данного неравенства на отрезке имеет вид

Учитывая, что функция периодическая, с периодом, равным мы получаем, что во всех отрезках вида

Неравенство вида

Так как функция принимает значения в интервале , то неравенство (154.5) имеет решение при любом а. Рассмотрим пример.

5) Решить неравенство

Решение. Рассмотрим отрезок оси Ох. На рис. 131 (стр. 323) видно, что данному неравенству удовлетворяют все заключенные в пределах

(При не существует tg x.) Так как , то решение неравенства (154.5) на отрезке имеет вид

Учитывая, что функция периодическая, с периодом, равным я, мы получаем, что всюду, где

где

VI. Неравенство вида

Так как функция принимает значения в интервале , то неравенство (154.6) имеет решение при любом а. Рассмотрим пример.

6) Решить неравенство

Решение. Рассмотрим отрезок оси Ох. На рис. 131 (стр. 323) видно, что данному неравенству удовлетворяют все заключенные в пределах Так как , то решение неравенства (154.6) на отрезке имеет .

Таким образом, неравенство удовлетворяется во всех интервалах вида