167. Измерение площадей.

Длина отрезка служит мерой этого отрезка по отношению к некоторому стандартному масштабному отрезку. Длина отрезка — мера его «линейной» протяженности. Для плоских фигур сходным понятием является понятие площади; площадь фигуры — ее мера по отношению к стандартной фигуре (квадрату со стороной, равной единице), мера ее «плоской» протяженности. Как и в случае длины отрезка, определением площади будет служить процесс ее измерения. Объясним сначала некоторые отличия в подходе к понятию площади фигуры, делающие это понятие более сложным, чем понятие длины отрезка.

Рис. 175.

Равенство длин двух отрезков означает равенство самих отрезков; равенство градусных и радианных мер двух углов — равенство углов. С измерением площадей фигур дело обстоит сложней в том смысле, что неравные и непохожие друг на друга фигуры могут иметь равную площадь, или, как говорят, быть равновеликими. Так, на рис. 175 квадрат и треугольник равновелики (проще всего заметить, что они составлены из двух пар одинаковых треугольников, как говорят, «равносоставлены»). Более того, круг может иметь площадь, равную площади квадрата, трапеция — площадь, равную площади прямоугольника, и т. п.

За единицу измерения площадей выбирается квадрат с какой-либо заданной длиной стороны; естественно брать для этой цели квадрат со стороной, равной единичному отрезку. Если при этом длины измеряются в сантиметрах, то площади измеряются площадью квадрата со стороной 1 см (соответствующая единица измерения называется 1 см2), и т. п.

Процесс измерения площади (с принципиальной точки зрения) изложен ниже, площади же различных фигур рассматриваются там, где изучаются эти фигуры.

Из наглядного представления о площади вытекают некоторые свойства площадей, принимаемые без доказательства.

1. Равные фигуры имеют равные площади. Обратное не всегда верно: равные площади могут принадлежать неравным фигурам.

2. Если фигура разделена какой-либо линией на две другие фигуры (рис. 176), то площадь всей фигуры равна сумме площадей фигур, ее составляющих.

Следствие. Если одна фигура составляет часть другой, то она имеет меньшую площадь, чем эта другая фигура.

Во многих случаях эти свойства позволяют легко определять площади фигур, устанавливая, что они равновелики каким-либо простейшим фигурам с известной площадью (ниже, в пп. 200—202, на этом построено вычисление площадей треугольников, четырехугольников и многоугольников).

Рис. 176.

Здесь мы дадим краткое описание общего подхода к определению площади любой фигуры и рассмотрим площадь прямоугольника.

Пусть F (рис. 177) — какая-либо произвольная фигура с данной границей (контуром).

Разобьем плоскость на квадраты со стороной, равной единице, двумя системами перпендикулярных прямых (единичная решетка). Если внутри данной фигуры поместятся полностью таких квадратов, то ее площадь заведомо будет кв. ед. Затем для более точной оценки мы сделаем разбиение более дробным, а именно, сохраняя и старые линии разбиения, разобьем фигуру прямыми, параллельными ранее проведенным, на квадраты со стороной, равной одной десятой (площадь каждого из них равна, очевидно, одной сотой Подсчитаем сумму площадей всех квадратов этого второго разбиения, поместившихся внутри нашей фигуры, — она не меньше суммы площадей квадратов первого разбиения. Делая разбиение еще более дробным, получим ряд фигур с неубывающей площадью, образованных квадратами со сторонами и т. д. Чем мельче разбиение, тем большую площадь имеет совокупность квадратов, уместившихся в фигуре F. В то же время эта площадь никогда не превзойдет площади какого-либо квадрата, содержащего данную фигуру, т. е. будет ограниченной величиной.

Известно (п. 84, теорема Вейерштрасса), что такая монотонная (возрастающая) последовательность стремится к определенному пределу. Этот предел и принимается за площадь фигуры.

Можно доказать, что величина указанного предела не зависит от конкретных подробностей способа разбиения фигуры, таких, как, например, направление сторон квадратов, на которые мы произвели разбиение.

Рис. 177.

Рис. 178.