88. Формула для суммы n членов арифметической прогрессии.
Выведем теперь формулу для суммы членов конечной арифметической прогрессии. Для прогрессии, имеющей 
членов, обозначим эту сумму через 
. Запишем выражение суммы 
дважды, один раз расположив члены прогрессии по возрастанию их номеров, а другой раз — по убыванию:
Сложим эти два равенства:
Всего в правой части имеется 
скобок. По свойству 2 (п. 87) суммы, заключенные в этих скобках, все равны между собой и равны сумме, заключенной в первой скобке. Поэтому
откуда
Если теперь мы вместо 
подставим в формулу (88.1) его выражение через 
и d по формуле (86.1), то после простых преобразований получим следующую вторую формулу для суммы членов арифметической прогрессии:
Пример. Определить сумму k первых нечетных чисел, начиная с единицы. Решение. На 
месте в последовательности нечетных чисел находится число 
. Последовательность нечетных чисел есть арифметическая прогрессия, у которой 
. По формуле (88.1) находим
откуда
Так, например,
Упражнения
1. Сумма первого и пятого членов арифметической прогрессии равна 26, а произведение второго и четвертого ее членов равно 160. Найти сумму шести членов прогрессии.
2. Дана некоторая последовательность, у которой при любом 
сумма первых 
членов выражается формулой 
Показать, что эта последовательность есть арифметическая прогрессия, и найти ее пятый член.
3. Для того чтобы три числа 
составляли арифметическую прогрессию, необходимо и достаточно, чтобы числа 
также составляли арифметическую прогрессию. Доказать.
4. Доказать, что каждый член арифметической прогрессии представляет собой среднее арифметическое членов, равноудаленных от него.
