209. Применение подобия к решению задач на построение.
Задача 1. Построить треугольник, зная два его угла и периметр.
Решение. Знание углов треугольника уже определяет его с точностью до преобразования подобия. Поэтому для решения задачи строим любой треугольник ЛС, с данными углами (рис. 277). Остается подобно преобразовать треугольник 
так, чтобы периметр его стал равен данной величине.
Рис. 277.
Рис. 278.
Для этого отложим стороны его 
на продолжениях стороны 
отрезок 
будет равен периметру треугольника 
. Возьмем любой отрезок KL, параллельный отрезку но равный заданному периметру. Соединим концы обоих параллельных отрезков и примем точку О пересечения линий 
за центр подобия. Построение вершин А и С искомого треугольника видно из рис. 277, стороны его АВ и СВ параллельны соответствующим сторонам треугольника 
.
В случае 
треугольник 
- уже искомый.
Задача 2. Дан угол, образованный лучами ОА и ОВ, и точка N внутри этого угла. Построить окружность, касающуюся сторон угла и проходящую через данную точку N (рис. 278).
Решение. Окружность, касающаяся сторон угла, должна иметь центр на биссектрисе этого угла. Возьмем на этой биссектрисе произвольную точку 
и построим окружность с центром в 
касающуюся сторон угла (ее радиус просто равен расстоянию точки 
от сторон угла). Если теперь преобразовать эту окружность подобно с центром подобия в вершине угла О, то вновь получится окружность с центром на биссектрисе; такая окружность снова будет касаться сторон угла, так как ее радиус, ведущий в точку касания, перейдет в силу сохранения углов в радиус, перпендикулярный к стороне угла. Остается обеспечить выполнение второго условия: преобразованная окружность должна пройти через точку N. Отсюда вытекает решение задачи. Проведем луч ON до пересечения с окружностью в точках 
и построим ее радиусы 
, ведущие в эти точки. Через данную точку N проведем прямые NC и NC, параллельные этим радиусам; точки их пересечения С, С с биссектрисой и дают возможные положения центра искомой окружности. Задача имеет два решения. Как изменится решение, если точка N лежит на биссектрисе угла?
Упражнения
1. Периметр треугольника равен 10 см, а его площадь 
Чему равен периметр подобного треугольника, если его площадь 
?
2. Доказать, что равнобедренные треугольники, имеющие равные углы при вершине, подобны.
3. Построить треугольник, подобный данному и вписанный в окружность данного радиуса.
4. В данный треугольник ABC вписать квадрат так, чтобы одна его сторона лежала на стороне ВС треугольника, а две вершины находились на двух других сторонах треугольника.
