10. Степени с целыми показателями.
Свойство 2) п. 9:
установлено при . При или его правая часть не определена, но левая часть сохраняет смысл. Это дает повод ввести определение степени с нулевым и целыми отрицательными показателями степени.
Нулевую степень числа полагают по определению равной единице:
Таким образом, равенство (9.2) становится теперь верным и при .
Степень числа отрицательным показателем -k определяется равенством
Нулевая и отрицательная степени числа 0 не определяются.
Определение (10.2) делает равенство (9.2) верным и при . Так, если , то имеем
Нетрудно проверить, что все правила действия возведения в натуральную степень, указанные в п. 9, сохраняют силу при введенных определениях и при любых целых показателях степени.
Так, например, проверяем, что
т. е. и для отрицательных показателей степени сохраняет силу правило 1) умножения степеней с одинаковыми основаниями.
Пример. Вычислить:
Решение. Используем то, что и применяем правила действий с целыми степенями: