10. Степени с целыми показателями.

Свойство 2) п. 9:

установлено при . При или его правая часть не определена, но левая часть сохраняет смысл. Это дает повод ввести определение степени с нулевым и целыми отрицательными показателями степени.

Нулевую степень числа полагают по определению равной единице:

Таким образом, равенство (9.2) становится теперь верным и при .

Степень числа отрицательным показателем -k определяется равенством

Нулевая и отрицательная степени числа 0 не определяются.

Определение (10.2) делает равенство (9.2) верным и при . Так, если , то имеем

Нетрудно проверить, что все правила действия возведения в натуральную степень, указанные в п. 9, сохраняют силу при введенных определениях и при любых целых показателях степени.

Так, например, проверяем, что

т. е. и для отрицательных показателей степени сохраняет силу правило 1) умножения степеней с одинаковыми основаниями.

Пример. Вычислить:

Решение. Используем то, что и применяем правила действий с целыми степенями: