§ 5. Преобразование некоторых выражений в произведения с помощью введения вспомогательного аргумента

Некоторые суммы бывает возможно свести к произведениям, если соответствующим образом ввести вспомогательный аргумент. Проиллюстрируем этот прием на отдельных примерах.

127. Преобразование в произведение выражения a•sina + b•cosa.

Мы предполагаем, что . Постараемся подобрать аргумент и положительный множитель так, чтобы было

Возведя в квадрат обе части равенств (127.1) и сложив полученные равенства почленно, будем откуда и

(В качестве мы берем арифметическое значение корня.) После этого вспомогательный аргумент можно найти из соотношений

Теперь будем иметь

Итак,

Формулу (127.4) можно получить и так:

Положив теперь

мы придем к формуле (127.4).

Замечание. Тот факт, что такой аргумент существует, доказан в п. 100 .

Пример 1. Представить в виде произведения выражение .

Решение. Здесь . Стедовательно,

Теперь полагаем

В качестве аргумента можно взять, например, Окончательно имеем

Пример 2. Представить в виде произведения выражение

Решение. В этом примере следовательно, Теперь поступаем, как в общем случае:

В качестве аргумента можно взять, например, После этого получим