63. Двучленные уравнения.

Алгебраическое уравнение вида

называется двучленным уравнением. Решение такого уравнения просто сводится к извлечению корня степени из числа :

(при этом подразумевается, что следует найти все значения корня по правилу извлечения корня из комплексных чисел, п. 18).

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Перепишем уравнение в виде будем рассматривать —32 как комплексное число и приведем его в тригонометрическую форму: . Теперь по правилу извлечения корня из комплексного числа найдем

где k следует придать значения 0, 1, 2, 3, 4. Получим пять корней нашего уравнения:

Уравнение имеет один действительный корень и четыре мнимых. При некоторых значениях , например при вместо указанного общего метода проще использовать разложение левой части на множители (применяя, в частности, формулы сокращенного умножения, п. 20).

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Запишем уравнение в виде

и используем формулу для разности, кубов (20.12); получим

Таким образом найдем, решая квадратное уравнение

Имеем

или

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Разлагаем левую часть уравнения на множители приемом, с которым мы уже встречались (п. 22):

Таким образом, задача сводится к решению двух квадратных уравнений:

Их корни

и являются корнями данного уравнения.

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Для удобства введем новую неизвестную по формуле для у получим уравнение

Разложим левую часть на множители

и сведем решение данного уравнения к решению двух линейных и двух квадратных уравнений. Читателю рекомендуется закончить решение примера самостоятельно.