§ 3. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла

99. Основные тригонометрические тождества.

Между основными тригонометрическими функциями произвольного угла а имеются следующие тождественные соотношения:

Доказательство. Принимая , получим (для произвольного угла ) , где х и у — проекции единичного радиуса-вектора на оси координат (см. рис. 85). По теореме Пифагора (см. п. 216) , так как откуда

где

где

Тождества (99.2) и (99.3) служат соответственно определениями функций и ctg a (см. формулы (97.3) и

где

где

Тождества (99.4) и (99.5) служат соответственно определениями функций а и cosec а (см. формулы (97.5) и (97.6)).

Тождества (99.1)-(99.5) назовем основными. При помощи этих основных тождеств выведем так называемые дополнительные тождества.

6. Перемножив почленно тождества (99.2) и (99.3), получим

где

7. Разделив тождество (99.1) почленно на , при условии, что , получим

где

8. Разделив тождество (99.1) почленно на , при условии, что , получим

где афпп;

При помощи тождеств (99.1)-(99.8) можно производить преобразования различных выражений, содержащих тригонометрические функции, и получать новые тождества.

Пример 1. Доказать тождество

Решение. Заменив в левой части их выражениями по формулам (99.2) и (99.3), получим

После выполнения тождественных преобразований левая часть равенства совпала с правой. Исходное тождество этим доказано.

Это же тождество можно доказать и по-другому, воспользовавшись формулами (99.7) и (99.8), а затем формулами (99.4) и (99.5). Рекомендуем это сделать читателю.

Пр и мер 2. Упростить выражение

Решение. Используя тождество (99.1), получаем

откуда

Аналогично находим

Подставив (99.9) и (99.10) в будем иметь