188. Равенство треугольников.
Первый признак (одна пара равных сторон). Пусть в двух треугольниках ABC и KLM стороны АВ и KL и прилежащие к ним углы 
соответственно равны. Тогда треугольники равны.
Действительно, наложим треугольник ABC на треугольник KLM так, чтобы сторона АВ совпала со стороной KL, а сторона АС пошла по стороне КМ, что возможно в силу равенства углов А и К (рис. 223). Тогда и сторона ВС пойдет по стороне 
и тем самым совпадут вершины С и М, как точки пересечения совпавших сторон.
Рис. 223.
Ясно, что в условии можно предположить равенство другой пары соответствующих углов, так как из равенства двух пар углов следует и равенство третьей пары углов треугольников.
Второй признак (две пары равных сторон). Если стороны АВ, KL и АС, КМ в двух треугольниках соответственно равны и углы, заключенные между ними, равны, то треугольники равны.
Доказательство предоставляется читателю.
Третий признак (три пары равных сторон). Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого: 
то треугольники равны (рис. 224).
Рис. 224.
Для доказательства наложим сторону АВ треугольника ЛВС на сторону KL так, чтоб совпали точки А и К, В и L, а вершины С и М оказались по одну сторону от совмещенных сторон АВ, KL. Остается показать, что и вершины С и М совпадут. Допустим противное, а именно что С и М не совместились. Пусть О — середина отрезка между этими вершинами. Тогда, в силу равенства наклонных КМ и КС к прямой МС, отрезок КО будет перпендикуляром к МС. Также должен быть перпендикуляром к МС и отрезок 
т. е. в точке О мы имеем два перпендикуляра к МС, что невозможно. Итак, допущение что М и С не совпадают, ложно.
Для двух прямоугольных треугольников достаточно допустить равенство двух пар сторон: два прямоугольных треугольника равны, если два катета одного равны двум катетам другого или если катет и гипотенуза одного равны соответственно катету и гипотенузе другого.
Рассмотрим второй из указанных случаев: пусть катеты АВ и KL прямоугольных треугольников ABC и КЕМ (рис. 225), а также и их гипотенузы АС и КМ равны.
Совместим катеты АВ и KL так, чтобы точка А совпала с К и В с L, а гипотенузы оказались по одну сторону от совпавших катетов.
Тогда катеты СВ и ML расположатся по одной прямой.
Рис. 225.
Гипотенузы будут наклонными, проведенными через К к линии вторых катетов, и, будучи равными и расположенными по одну сторону от перпендикуляра, совпадут, откуда следует совмещение треугольников.
Так как у двух прямоугольных треугольников всегда есть пара равных углов (прямых), то для равенства таких треугольников достаточны также следующие условия: прямоугольные треугольники равны, если они имеют пару равных острых углов и пару равных катетов (или гипотенуз).
