§ 2. Перпендикулярность прямых и плоскостей

236. Перпендикуляр к плоскости.

В планиметрии построение перпендикуляра основано на том, что он соединяет данную точку и точку, симметричную с ней относительно рассматриваемой прямой. Если мы хотим составить понятие о перпендикуляре к плоскости, то можно взять любую точку, лежащую вне этой плоскости, отразить эту точку в данной плоскости, как в зеркале, и соединить данную точку с ее отражением; тогда получим перпендикуляр к плоскости. Следует, однако, заметить, что в случае отражения относительно прямой все дело сводилось к сгибу плоскости вдоль данной прямой, т. е. к движению, хотя и производимому в пространстве. Отражение же в плоскости уже не сводится к движению. Поэтому изложение вопроса о перпендикуляре к плоскости сложнее соответствующего изложения вопроса о перпендикуляре к прямой в планиметрии, оно опирается на следующее известное читателю

Рис. 337.

Определение. Прямая называется перпендикуляром к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Так как угол между двумя скрещивающимися прямыми равен по определению углу между пересекающимися прямыми, параллельными данным, то прямая а (рис. 337), перпендикулярная ко всем прямым плоскости К, проходящим через точку пересечения прямой а с плоскостью К, будет перпендикулярна и к плоскости К. Действительно, она образует прямой угол с любой прямой в плоскости так как она перпендикулярна к прямой b, проведенной в этой плоскости через точку параллельно b.

В действительности имеет место гораздо более простой Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Прямая, перпендикулярная к двум пересекающимся прямым плоскости, перпендикулярна к этой плоскости.

Рис. 338.

Доказательство. Пусть на рис. 338 прямая а перпендикулярна к двум пересекающимся прямым , лежащим в плоскости Х. В силу сделанного выше замечания мы можем, не нарушая общности, предположить, что прямая а проходит через точку пересечения прямых тип. Требуется доказать, что прямая а перпендикулярна и к любой прямой плоскости в силу того же замечания можно предположить, что прямая проходит через точку . Сделаем следующие вспомогательные построения: на прямой а возьмем произвольную точку М и точку М на продолжении по другую сторону плоскости Я на расстоянии от точки Три прямые в плоскости X пересечем какой-либо прямой с, не проходящей через точки пересечения обозначим соответственно Р, Q, R. Соединим точки М и М с точками Р, Q, R. Треугольники равны, так как они прямоугольные, катеты равны по построению, а катет общий; значит, равны и их гипотенузы: (можно еще проще заметить, что МР — МР, как наклонные с равными проекциями). Отрезки MQ, MQ также равны. Значит, равны треугольники MPQ и MPQ (по трем сторонам). Отсюда заключаем, что равны треугольники MQR и у них между равными сторонами MQ и MQ и общей стороной QR заключены равные углы: (соответственные углы в равных треугольниках). Теперь уже видно, что равны и треугольники трем сторонам). Таким образом, углы MMUR и равны, и так как они смежные, то каждый из них прямой. Утверждение доказано.

К любой прямой можно провести перпендикулярную плоскость.

В самом деле, возьмем произвольную прямую и в любой ее точке проведем к ней два каких-либо перпендикуляра (лежащие в каких-либо двух плоскостях, проведенных через эту прямую). Через них, как через две пересекающиеся прямые, проходит плоскость. По предыдущему, данная прямая служит перпендикуляром к этой плоскости.

Из проведенных рассуждений также следует вывод: все прямые, перпендикулярные к данной прямой в одной из ее точек, лежат в одной плоскости, перпендикулярной к этой прямой.

В любой точке плоскости также можно восставить перпендикуляр к ней.

Для этого достаточно провести через данную в плоскости точку две прямые, лежащие в этой плоскости, а затем построить в той же точке две плоскости, перпендикулярные к проведенным прямым. Имея общую точку, эти две плоскости пересекутся по прямой, которая будет одновременно перпендикулярна к двум пересекающимся прямым в плоскости и, следовательно, перпендикулярна к самой плоскости.