55. Системы уравнений.

Рассмотрим пару равенств

левые части которых являются алгебраическими выражениями (функциями) относительно двух переменных х, у. Мы скажем, что они составляют систему двух уравнений с двумя неизвестными х, у, и будем решать задачу об отыскании всех таких пар значений х, у, которые обращают (одновременно) оба уравнения системы в верные числовые равенства. Каждая такая пара значений х, у называется решением системы.

Решить систему — значит найти все ее решения. Так как пара чисел (х, у) изображается точкой на координатной плоскости, то точку с координатами (х, у) также называют решением системы (55.1).

Аналогично, можно систему трех уравнений с тремя неизвестными записывать в виде

(в большинстве задач число уравнений бывает равно числу входящих в них неизвестных, хотя в принципе это не обязательно). Ее решениями служат уже тройки чисел (х,y,z).

Уравнения, составляющие систему, обычно объединяют фигурной скобкой; этим выражается, что они рассматриваются совместно.

Некоторое уравнение F(х, у) = 0 называется следствием системы (55.1), если оно удовлетворяется всеми решениями системы (55.1). При решении систем из них, как правило, приходится выводить уравнения, являющиеся их следствиями. Например, если даны уравнения (55.1), то и уравнения, полученные их сложением:

или вычитанием:

будут их следствиями. На этом основан, в частности, наиболее распространенный метод решения систем уравнений — метод исключения неизвестных. Он состоит в том, чтобы получить уравнение, являющееся следствием системы (55.1), но уже не содержащее одной из неизвестных, т. е. уравнение с одной неизвестной х (или у). Поясним сущность процесса исключения неизвестной примером.

Пусть дана система

с двумя неизвестными. Если первое уравнение умножить на 3, а второе на 2 и сложить полученные уравнения, то получим уравнение

не содержащее у. Оно будет следствием системы (55.2); действительно, если точка удовлетворяет обоим уравнениям (55.2), то она удовлетворит и уравнению (55.3). Фактически это означает, что абсцисса этой точки удовлетворяет уравнению (55.3) (так как ординаты у уравнение не содержит).

В данном простом примере видно, что уравнение (55.3) имеет два решения: .

При оба уравнения (55.2) дают а при получаем Решения системы - точки (0, 1) и