100. Вычисление значений тригонометрических функций по значению одной из них.

При помощи формул (99.1)-(99.8) можно выразить (с точностью до знака) через любую из шести тригонометрических функций угла а остальные пять функций. Мы ограничимся только функциями tg a.

1. Выражение через sin a. Из тождества (99.1) находим

Подставив найденное значение cos a в тождество (99.2), получим

где

2. Выражение через cos a. Из тождества (99.1) находим

Подставив найденное значение в тождество (99.2), получим

где

3. Выражение через . Из тождества (99.7) находим . Подставив значение в тождество (99.4), получим из него

где

Далее находим

где

При извлечении квадратного корня знак следует выбирать в зависимости от того, в какой четверти находится угол а.

Пример 1. Известно, что Вычислить .

Решение. Угол а принадлежит третьей четверти (рис. 97), в которой

Следовательно,

В дальнейшем мы будем использовать следующий факт:

Для того чтобы два действительных числа и у можно было принять за cos a и sin a одного и того же угла а, необходимо и достаточно, чтобы сумма их квадратов была равна единице:

Доказательство. Необходимость. Если , то по тождеству

Достаточность. Рассмотрим радиус-вектор ОМ (рис. 85) с проекциями х и у. Так как по условию то длина этого вектора равна 1. Следовательно, ОМ — единичный радиус-вектор. Согласно первым двум формулам где - угол, образованный подвижным единичным радиусом-вектором ОМ и положительным направлением оси

Рис. 97.

Пример 2. Могут ли sina и cosa одного и того же угла a быть равными соответственно: а) б) и ?

Решение, а) Числа обладают тем свойством, что Следовательно, по доказанному существует такой угол а, для которого

б) Для чисел имеем Следовательно, числа нельзя принять за одного и того же угла а.