213. Четырехугольники, вписанные в окружность.
Вокруг всякого треугольника можно описать окружность, иначе говоря, всякий треугольник может считаться вписанным в некоторую окружность. Иначе обстоит дело с четырехугольником: описать окружность вокруг четырехугольника можно, лишь если он удовлетворяет некоторому дополнительному условию, которое мы сейчас и найдем. Пусть ABCD — некоторый четырехугольник, вписанный в окружность (рис. 287). Тогда его противоположные углы, например 
опираются на дуги, составляющие в сумме всю окружность. Значит, сумма этих углов измеряется половиной окружности, и потому эти два угла составляют в сумме два прямых. Столько же приходится и на долю второй пары противоположных углов 
. Итак, у любого четырехугольника, вписанного в окружность, суммы пар противоположных углов равны двум прямым.
Докажем, что и обратно, вокруг четырехугольника, обладающего этим свойством, можно описать окружность. Пусть дан четырехугольник ABCD (рис. 287), у которого 
значит, и 
Проведем окружность через какие-либо три вершины четырехугольника, например А, В, D. Тогда и четвертая вершина должна поместиться на той же окружности. Так, если бы четвертая вершина (точка С на рис. 287) оказалась внутри окружности, проведенной через три остальные вершины, то угол в ней имел бы меру, большую половины дуги BAD, и сумма его с углом, измеряемым дугой 
превзошла бы два прямых, что противоречит условию. Так же опровергается и предположение, будто точка С может лежать вне окружности, проведенной через вершины А, В, D.
Остается лишь возможность, что точка С лежит на самой окружности, что мы и хотели установить.
Применим этот признак к решению вопроса: при каких условиях вокруг данного параллелограмма или данной трапеции можно описать окружность? Если дан параллелограмм, то противолежащие углы его равны и потому могут составлять в сумме два прямых лишь тогда, когда каждый из них прямой. Итак,
Из всех параллелограммов прямоугольники и только они обладают тем свойством, что вокруг них можно описать окружность.
Читатель докажет, что центр описанной окружности прямоугольника лежит в точке пересечения его диагоналей. Если окружность описана около трапеции, то снова сумма противоположных углов должна равняться двум прямым. Но у трапеции равна двум прямым сумма углов, образуемых боковой стороной с двумя ее основаниями. Отсюда видно, что должны быть равны углы, прилежащие к одному основанию. Такая трапеция будет равнобочной трапецией:
Рис. 288.
Из всех трапеций вписанной в окружность может быть только равнобочная трапеция.
