Следовательно, для любого 
, лежащего на оси 
найдется, и притом только одно, значение 
из интервала 
такое, что 
т. е. для функции 
на указанном интервале существует обратная (однозначная) функция, которую условились называть арктангенсом и обозначать так: 
Рис. 131.
Меняя, как обычно, обозначения, мы будем писать:
Рис. 132.
Пример 1. Найти 
Подробно данный пример можно сформулировать так: найти такой аргумент а, лежащий в пределах от 
до 
тангенс которого равен 
Решение. Существует бесчисленное множество аргументов, тангенс которых равен 
например: 
и т. д. Но нас интересует только тот аргумент, который находится в интервале 
Таким аргументом будет 
Итак,
Пример 2. Найти 
Решение. Рассуждая так же, как и в предыдущем случае, мы получим 
График функции 
симметричен с графиком функции 
относительно биссектрисы 
координатных углов (см. рис. 21 в п. 35).
. Область определения этой функции — вся ось 
за исключением точек вида 
где 
и область изменения значений — вся ось 
Об обратной функции (по отношению к функции 
) можно уже говорить для всей оси 
Задача нахождения 
из уравнения 
и здесь имеет бесчисленное множество решений. На рис. 131 видно, что существует бесконечно много значений аргумента 
таких, что 
где 
.
достаточно рассмотреть какой-либо наибольший интервал оси 
на котором она монотонно возрастает. Функция 
монотонно возрастает от 
до 
например, на интервале 
и вообще на любом интервале вида 
где 
. В качестве интервала оси 
на котором рассматривается функция у 
и обратная к ней функция, берут обычно интервал 
На этом интервале функция 
монотонно возрастает, принимая все значения от 
до 
вытекают из соответствующих свойств функции 
на интервале 
и видны из графика на рис. 132. Перечислим эти свойства:
нечетная: 
монотонно возрастающая.
в начале координат.
при 
при 
.
- горизонтальные асимптоты графика.
