Глава VII. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

§ 1. Предел последовательности

83. Числовая последовательность.

Рассмотрим некоторую занумерованную совокупность, состоящую из чисел:

расположенных в порядке их нумерации. Будем говорить, что они образуют конечную последовательность, состоящую из членов (или последовательность длины ). При этом членами последовательности называются числа из которых составлена эта последовательность.

Так же можно рассмотреть и бесконечную последовательность чисел

В этой записи многоточие в конце строки указывает на то, что за последним из выписанных членов следует еще бесконечное множество дальнейших членов последовательности.

Таким образом, конечной или бесконечной последовательностью называется, соответственно, конечное или бесконечное занумерованное множество чисел, расположенных в порядке возрастания номеров.

Член последовательности с номером, пробегающим в случае конечной последовательности значения , а в случае бесконечной — весь натуральный ряд чисел называется общим членом последовательности. Если — общий член последовательности, то конечная последовательность длины записывается также в виде

а бесконечная — в виде

Последовательность (83.1) или (83.2) считается заданной, если известно правило, по которому можно определить любой ее член конечной последовательности также задается и число членов).

Поскольку общий член последовательности определяется своим номером, то можно рассматривать его как функцию этого номера; говорят, что он является функцией натурального аргумента: . Часто эта функция задается формулой, определяющей общий член через его номер , например: или . Тогда последовательность записывается в виде

соответственно.

Последовательность может также задаваться правилом, по которому находят каждый ее член, если известны предыдущие. Пример: указано, что первые два члена последовательности равны единице, а каждый следующий равен сумме двух непосредственно предшествующих ему. Находим: по условию . Теперь и т. д. Получаем последовательность чисел

(называемых числами Фибоначчи).

Еще один пример задания последовательности, при котором не удается записать формулы, выражающей ее общий член: последовательность десятичных знаков(цифр) в записи числа я:

Последовательность называется монотонно возрастающей (неубывающей), если каждый ее член, начиная со второго, больше (не меньше) предыдущего. Аналогично определяется монотонно убывающая (невозрастающая) последовательность. Такие последовательности называются просто монотонными (если не существенно, убывает или возрастает член последовательности). Ясно, что понятие монотонной последовательности есть то же понятие монотонной функции для случая аргумента, принимающего натуральные значения. Из трех последовательностей (83.5)-(83.7) первая является монотонно возрастающей, вторая — монотонно убывающей, а третья — немонотонной. Проверить эти утверждения можно, рассматривая знак разности между последующим и предыдущим членами последовательности.

Если можно указать такое число М, что все члены бесконечной последовательности оказываются не больше М, т. е. если для всех выполнится неравенство

то последовательность называется ограниченной сверху числом М.

Если можно указать такое число что для всех выполнится неравенство

то последовательность называется ограниченной снизу числом т. Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и снизу и сверху, т. е. если существуют такие числа m и М, что для всех выполняется неравенство

Так, например, последовательность (83.5) ограничена снизу числом но не ограничена сверху. Последовательность (83.6) ограничена: сверху числом снизу — числом Последов ател ьность

не ограничена ни снизу, ни сверху. Последовательность

ограничена снизу и сверху. За ее границы можно принять, например, числа и .

Ясно, что всякая конечная последовательность ограничена. Последовательность, все члены которой равны одному и тому же числу с, называется постоянной последовательностью; в этом случае . Любая постоянная последовательность ограничена.

Можно определить арифметические действия над двумя или несколькими последовательностями. Так, например, под суммой двух последовательностей понимают третью последовательность общий член которой определен равенством

т. е. представляет собой сумму общих членов последовательностей слагаемых. Аналогичным образом определяются и другие арифметические действия над последовательностями.