77. Графическое решение неравенств.

Если неравенство записано в виде то, построив график функции можно непосредственно по чертежу видеть, для каких значений неравенство удовлетворяется (график лежит выше оси Ох). Решение будет точным или приближенным в зависимости от того, точно или приближенно найдены точки, где график переходит из нижней полуплоскости в верхнюю полуплоскость

Если неравенство задано в виде , то можно построить графики двух функций и по чертежу определять, для каких значений первый график располагается выше второго. Множество таких и даст множество решений неравенства.

Основная ценность графического подхода к решению неравенств состоит в том, что уже схематическое изображение графиков функций часто показывает, что неравенство выполняется в интервалах, ограниченных такими характерными точками, как точки пересечения графиков между собой (или точки пересечения графика у = f(х) с осью Ох). Отыскание этих точек является уже несколько более легкой задачей: оно сводится к решению уравнений, а не неравенств.

Пример 1. Решить неравенство

Решение. Строим графики функций . Первый из них нам известен, второй представляет собой часть параболы лежащую в верхней полуплоскости. Из чертежа видно, что неравенство удовлетворяется в интервале левый конец которого — корень уравнения у Решаем это уравнение: .

Рис. 62.

Рис. 63.

Корень посторонний, нужное нам значение: Итак, неравенство удовлетворяется в интервале (1, 2).

Пример 2. Решить неравенство

Решение. Строим график функции у на рис. 63 пунктиром показан график функции после чего график получен по способу п. 48 (он показан сплошной линией). Далее проведена прямая Сразу видно, что неравенству (77.1) будут удовлетворять значения из двух симметричных интервалов: Здесь через обозначены абсциссы точек пересечения прямой с графиком функции, т. е. решения уравнения

В силу симметрии достаточно найти решения уравнения (77.2) при . Поэтому уравнение (77.2) сводится к

При имеем и из находим . При имеем и из находим . Ясно, что и множеством решений данного неравенства служит пара симметричных интервалов

Линейные неравенства. Системы линейных неравенств.

Неравенства вида

(а также ) называются линейными неравенствами или неравенствами первой степени.

Для решения неравенства (78.1) перенесем свободный член в правую часть неравенства с противоположным знаком:

Приходится различать два случая: . Если , то разделим обе части неравенства (78.2) на а и получим равносильное неравенство , которое показывает, что множество решений неравенства (78.1) в данном случае — бесконечный интервал . Если , то при делении обеих частей неравенства (78.2) на а придется изменить смысл неравенства, и решением неравенства (78.1) в этом случае будет бесконечный интервал

Замечание. Если бы , то неравенство (78.1) не содержало бы х и было бы либо верным, либо неверным числовым неравенством.

Пример 1. Решить неравенства: а)

Решение, а) Перенесем члены, содержащие в левую часть неравенства, а свободные члены — в правую часть:

Решением неравенства является интервал .

б) Перенесем неизвестные члены в левую часть, а известные — в правую часть неравенства:

При делении неравенства на отрицательное число изменим смысл неравенства на противоположный, получим .

Множеством решений данного неравенства служит бесконечный интервал

Пример 2. Решить (и исследовать) неравенство

Решение. Различаем случаи:

При делим обе части на и сохраняем смысл неравенства: . При одновременно с делением на изменяем смысл неравенства: . При неравенство не выполняется ни при каком

Ответ. Если , то множеством решений служит интервал если , то множество решений — интервал при решений не имеется.

В случае, если задана система линейных неравенств с одной неизвестной х, например система двух неравенств вида

то ее решение проводится так: решают каждое неравенство в отдельности, а затем находят те значения х, которые входят во множества решений каждого из неравенств. В случае двух неравенств решением каждого из Них служит бесконечный интервал вида . Можно представить себе четыре основные возможности, поясняемые рис. 64, где I и II обозначают области решений первого и второго неравенств.

1) Решениями обоих неравенств служат бесконечные интервалы вида соответственно, т. е. лучи положительного направления с начальными точками а, р. Если, например, то решением системы неравенств будет общая часть этих лучей — луч . Этот случай показан на рис. 64, а.

Рис. 64.

2) Решения неравенств — бесконечные интервалы (лучи) вида . Решением системы служит тот из этих интервалов, который содержится в другом; при таким является интервал (рис. 64, б).

3) Решение одного из неравенств — луч другого — луч , причем (рис. 64, в). Общей частью бесконечных интервалов, представляющих решения неравенств системы при является сегмент , который и служит множеством решений системы. При множество решений сведется к одной точке .

4) Решения неравенств — лучи , причем . В этом случае ни одна точка числовой оси не удовлетворяет обоим неравенствам одновременно. Система неравенств не имеет решений (множество ее решений пусто).

Пример 3. Решить системы неравенств:

Решение, а) Решим последовательно первое и второе неравенства системы:

Обоим неравенствам одновременно удовлетворяют все числа, большие пли равные но меньшие или равные 4. Записать решение данной системы поэтому можно так: Ее множество решений — сегмент [-2, 4].

При отыскании множества решений системы полезно пользоваться наглядным приемом, который в данном случае проводится так: интервал, содержащий решения одного неравенства, покрывается штриховкой в одном направлении (на рис. 65, а в направлении слева вниз направо), а интервал, содержащий решения другого неравенства, — в другом направлении (на рис. 65, а слева вверх направо).

Рис. 65.

Множеством решений системы будет служить дважды заштрихованный интервал числовой оси.

б) Множеством решений первого неравенства служит интервал а второго — интервал . Следовательно, множества решений системы — бесконечный интервал ; на рис. 65, б это отчетливо видно.

в) Первому неравенству удовлетворяют все числа, меньшие 2, а второму — все числа, большие или равные 3. Множества решений неравенств, составляющих систему, общих точек не имеют (рис. 65, в). Неравенства несовместны, система противоречива.

г) Множеством решений первого неравенства служит интервал , а второго — интервал Поэтому множеством решений системы является бесконечный интервал это видно из рис. 65, г.

К системам неравенств приводят неравенства, содержащие неизвестную под знаком абсолютной величины. Ограничимся решением типичного примера.

Пример 4. Решить неравенство

Решение. Для того чтобы записать неравенство без знака модуля, придется рассмотреть две возможности: 1) и 2) .

1) ; тогда неравенство (78.3) принимает вид и мы приходим к системе неравенств

2) х < 2; в этом случае неравенство (78.3) сводится к виду и получается система

Множество решений неравенства (78.3) будет объединением множеств решений систем (78.4) и (78.5). Первая система имеет своим решением интервал [2, 3), вторая — интервал . Итак, решение неравенства (78.3) — интервал (-1, 3).