217. Квадрат стороны, лежащей против острого или тупого утла и треугольнике. Теорема косинусов.
Рассмотрим сторону b треугольника ABC, лежащую против угла 
(рис. 298).
Вычисление длины этой стороны проведем отдельно в двух случаях, когда угол 
острый (рис. 298, а) и когда угол 
тупой (рис. 298, б).
1) 
- острый угол (рис. 298, а). Проведем в треугольнике ABC высоту 
. Отрезок ВН, который является проекцией стороны ВС на сторону АВ, обозначим через I. Тогда отрезок АН выразится как с 
Применим теорему Пифагора к каждому из двух треугольников АНС и ВНС, на которые данный треугольник разбивается высотой СН. Получим
Подставляя 
из второго равенства в первое, найдем
Квадрат стороны треугольника, лежащей против острого угла, равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение одной из них на проекцию на нее другой стороны.
2) 
— тупой угол (рис. 298, б). Проводим то же построение: опускаем высоту 
из вершины С; обозначаем, как и в первом случае, проекцию ВН стороны ВС на сторону АВ через 
Рис. 298.
Отрезок АН теперь выражается как сумма с и 
(в этом состоит отличие от первого рассмотренного случая). Из прямоугольных треугольников АНС и ВНС, используя теорему Пифагора, находим
и, подставляя № из второго равенства в первое, окончательно получаем
Квадрат стороны треугольника, лежащей против тупого угла, равен сумме квадратов двух других его сторон плюс удвоенное произведение одной из них на проекцию на нее другой стороны.
Следствие. Квадрат стороны, лежащей против острого (тупого) угла, меньше (больше) суммы квадратов двух других сторон треугольника. Равенство имеет место для стороны, лежащей против прямого угла.
Пример 1. Стороны треугольника равны 8, 10 и 13. Является ли треугольник остроугольным, прямоугольным или тупоугольным?
Решение. Находим квадраты сторон и замечаем, что квадрат большей стороны больше суммы квадратов двух других сторон: 
Треугольник тупоугольный (тупой угол лежит против наибольшей из сторон).
Равенствам (217.1) и (217.2) можно придать единообразную форму, используя выражение проекции 
через косинус угла (3. Именно, в случае острого угла 
непосредственно имеем 
. В случае тупого угла Р проекция 
выражается из треугольника ВСН на рис. 298, б как 
(угол НВС 
. Известна формула приведения (см. п. 106), по которой 
Поэтому в рассматриваемом случае 
. Теперь видно, что, заменяя 
через 
в формуле (217.1) и через 
в формуле (217.2), придем к одному и тому же равенству:
известному как
Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
В такой формулировке теорема применима к остроугольным, прямоугольным и тупоугольным треугольникам. Естественно, что равенства вида (217.3) могут быть записаны и для остальных сторон треугольника:
Пример 2. Найти диагонали параллелограмма, стороны которого равны 12 и 8, а тупой угол равен 135°.
Решение. Каждая из диагоналей является соответственно стороной в треугольнике, две другие стороны которого равны 12 и 8. Одна из диагоналей лежит против угла в 135°, другая - против угла в 45°. Находим
Малая диагональ «8,5, большая 
да 18,5.
С помощью формулы (217.3) может быть доказана
Теорема 1. Если в двух треугольниках имеются две пары равных сторон, то третья сторона больше в том треугольнике, где она лежит против большего угла.
Доказательство. Из равенства (217.3) видно, что при постоянных длинах сторон а, с сторона b будет тем больше, чем меньше 
так как при возрастании угла 
его косинус монотонно убывает (см. п. 97), то справедливость нашего утверждения доказана.
С помощью формулы (217.3) легко доказывается следующая
Теорема 2. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов четырех его сторон.
Доказательство. Обозначим стороны параллелограмма через а и b, диагонали — через 
один из углов параллелограмма через а (рис. 299). Диагонали можно рассматривать как стороны BD и АС треугольников ABD и ABC, лежащие против углов а и 
по теореме косинусов находим
откуда
Рис. 299.
Рис. 300.
