177. Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная и секущая.

Пусть на плоскости даны окружность и некоторая прямая. Опустим на эту прямую перпендикуляр из центра окружности С; обозначим через основание этого перпендикуляра. Точка может занимать относительно окружности три возможных положения: а) лежать вне окружности, б) на окружности, в) внутри окружности. В зависимости от этого и прямая будет занимать относительно окружности одно из трех возможных различных положений, описываемых ниже.

а) Пусть основание перпендикуляра опущенного из центра С окружности на прямую а, лежит вне окружности (рис. 197). Тогда прямая не пересекает окружности, все ее точки лежат во внешней области. Действительно, в указанном случае по условию удалена от центра на расстояние, большее радиуса). Тем более для любой точки М прямой а имеем т. е. каждая точка данной прямой лежит вне круга.

Рис. 197.

Рис. 198.

б) Пусть основание перпендикуляра попадет на окружность (рис. 198). Тогда прямая а имеет с окружностью ровно одну общую точку . Действительно, если М — любая другая точка прямой, то (наклонные длиннее перпендикуляра) и точка М лежит во внешней области. Такая прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку, называется касательной к окружности в этой точке. Покажем, что и обратно, если прямая имеет с окружностью единственную общую точку, то радиус, проведенный в эту точку, перпендикулярен к данной прямой. Действительно, опустим из центра перпендикуляр на данную прямую. Если бы его основание лежало внутри окружности, то прямая имела бы с ней, как показано в в), две общие точки. Если бы оно лежало вне окружности, то в силу а) прямая не имела бы с окружностью общих точек.

Поэтому остается допустить, что перпендикуляр попадает в общую точку прямой и окружности — в точку их касания. Доказана важная

Теорема. Прямая, проходящая через точку окружности, тогда и только тогда касается окружности, когда она перпендикулярна к радиусу, проведенному в эту точку.

Заметим, что определение касательной к окружности, данное здесь, не переносится на другие кривые. Более общее определение касательной прямой к кривой линии связано с понятиями теории пределов и рассматривается подробно в курсе высшей математики. Здесь мы дадим о нем только общее понятие. Пусть даны окружность и на ней точка А (рис. 199).

Рис. 199.

Рис. 200.

Рис. 201.

Возьмем еще точку А на окружности и соединим обе точки прямой АА. Пусть точка А двигаясь по окружности, занимаетпоследовательно ряд новых положений приближаясь все больше к точке А. Прямая АА, вращаясь вокруг А, принимает ряд положений: при этом по мере сближения движущейся точки с точкой А прямая стремится к совпадению с касательной АТ. Поэтому можно говорить о касательной как о предельном положении секущей, проходящей через данную точку и точку кривой, неограниченно с ней сближающуюся. В такой форме определение касательной применимо к кривым весьма общего вида (рис. 200).

в) Пусть, наконец, точка лежит внутри окружности (рис. 201). Тогда . Будем рассматривать наклонные, проведенные к прямой а из центра С окружности, с основаниями удаляющимися от точки в любом из двух возможных направлений. Длина наклонной будет монотонно возрастать по мере удаления ее основания от точки это возрастание длины наклонной происходит постепенно («непрерывно») от значений, близких к до значений, сколь угодно больших, поэтому кажется ясным, что при некотором положении оснований наклонных длина их будет точно равна соответствующие точки К и L прямой будут лежать на окружности.

Прямая в этом случае имеет с окружностью две общие точки и называется секущей.

Наше рассуждение основано на непрерывном, постепенном характере возрастания наклонной по мере удаления ее основания от основания перпендикуляра. Точное определение понятия непрерывности здесь не может быть дано. Вместо этого рассуждения можно применить теорему Пифагора (п. 216). Так, если отложить на прямой а в обе стороны точки отрезки равные где то расстояния CL и СК будут равны радиусу окружности R. Поэтому полученные таким путем точки L и К принадлежат окружности,