177. Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная и секущая.
Пусть на плоскости даны окружность и некоторая прямая. Опустим на эту прямую перпендикуляр из центра окружности С; обозначим через
основание этого перпендикуляра. Точка
может занимать относительно окружности три возможных положения: а) лежать вне окружности, б) на окружности, в) внутри окружности. В зависимости от этого и прямая будет занимать относительно окружности одно из трех возможных различных положений, описываемых ниже.
а) Пусть основание перпендикуляра
опущенного из центра С окружности на прямую а, лежит вне окружности (рис. 197). Тогда прямая не пересекает окружности, все ее точки лежат во внешней области. Действительно, в указанном случае
по условию удалена от центра на расстояние, большее радиуса). Тем более для любой точки М прямой а имеем
т. е. каждая точка данной прямой лежит вне круга.
Рис. 197.
Рис. 198.
б) Пусть основание
перпендикуляра
попадет на окружность (рис. 198). Тогда прямая а имеет с окружностью ровно одну общую точку
. Действительно, если М — любая другая точка прямой, то
(наклонные длиннее перпендикуляра) и точка М лежит во внешней области. Такая прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку, называется касательной к окружности в этой точке. Покажем, что и обратно, если прямая имеет с окружностью единственную общую точку, то радиус, проведенный в эту точку, перпендикулярен к данной прямой. Действительно, опустим из центра перпендикуляр на данную прямую. Если бы его основание лежало внутри окружности, то прямая имела бы с ней, как показано в в), две общие точки. Если бы оно лежало вне окружности, то в силу а) прямая не имела бы с окружностью общих точек.
Поэтому остается допустить, что перпендикуляр попадает в общую точку прямой и окружности — в точку их касания. Доказана важная
Теорема. Прямая, проходящая через точку окружности, тогда и только тогда касается окружности, когда она перпендикулярна к радиусу, проведенному в эту точку.
Заметим, что определение касательной к окружности, данное здесь, не переносится на другие кривые. Более общее определение касательной прямой к кривой линии связано с понятиями теории пределов и рассматривается подробно в курсе высшей математики. Здесь мы дадим о нем только общее понятие. Пусть даны окружность и на ней точка А (рис. 199).
Рис. 199.
Рис. 200.
Рис. 201.
Возьмем еще точку А на окружности и соединим обе точки прямой АА. Пусть точка А двигаясь по окружности, занимаетпоследовательно ряд новых положений
приближаясь все больше к точке А. Прямая АА, вращаясь вокруг А, принимает ряд положений:
при этом по мере сближения движущейся точки с точкой А прямая стремится к совпадению с касательной АТ. Поэтому можно говорить о касательной как о предельном положении секущей, проходящей через данную точку и точку кривой, неограниченно с ней сближающуюся. В такой форме определение касательной применимо к кривым весьма общего вида (рис. 200).
в) Пусть, наконец, точка
лежит внутри окружности (рис. 201). Тогда
. Будем рассматривать наклонные, проведенные к прямой а из центра С окружности, с основаниями
удаляющимися от точки
в любом из двух возможных направлений. Длина наклонной будет монотонно возрастать по мере удаления ее основания от точки
это возрастание длины наклонной происходит постепенно («непрерывно») от значений, близких к
до значений, сколь угодно больших, поэтому кажется ясным, что при некотором положении оснований наклонных длина их будет точно равна
соответствующие точки К и L прямой будут лежать на окружности.