62. Уравнения высших степеней. Целые корни.
Алгебраические уравнения выше второй степени мы называем уравнениями высших степеней. Изучение их в общем виде выходит за рамки программы средней школы. В нашем курсе рассматриваются лишь некоторые частные Еопросы, относящиеся к уравнениям высших степеней. Здесь мы покажем, как можно находить целые корни уравнения с целочисленными коэффициентами (если такие корни имеются).
Пусть старший коэффициент уравнения равен единице (приведенное уравнение), а остальные коэффициенты — целые числа. Пусть такое уравнение
имеет корнем целое число 
подставляя 
в уравнение, получим
откуда
где оба сомножителя в правой части равенства — целые; таким образом, свободный член 
уравнения должен делиться на k. Все целые корни приведенного алгебраического уравнения с целыми коэффициентами являются делителями его свободного члена. Отсюда следует, что в качестве целых корней надлежит испытывать не какие-либо произвольные целые числа, а лишь делители свободного члена уравнения, которых имеется лишь конечное множество.
Можно доказать, что приведенное уравнение с целыми коэффициентами не имеет других рациональных корней, кроме целых; поэтому наш метод дает все рациональные решения уравнения (62.1).
Пример 1. Решить уравнение 
Решение. Выписываем (положительные и отрицательные) делители свободного члена 
Подставляя эти числа в уравнение, находим, что корнем данного уравнения служит число 
поскольку 
Многочлен, расположенный в левой части уравнения, по теореме Безу (п. 51) должен без остатка делиться на двучлен, 
Проделав деление, найдем в частном квадратный трехчлен 
Его два корня присоединим к ранее найденному корню и, таким образом, найдем все три корня данного уравнения: 
Пример 2. Имеет ли уравнение 
целые корни?
Решение. Целыми корнями могут быть лишь делители свободного члена 2, т. е. числа ±1, ±2. Непосредственной подстановкой этих чисел в уравнение убеждаемся, что ни одно из них ему не удовлетворяет. Данное уравнение целых и вообще рациональных корней не имеет.
Если старший коэффициент 
уравнения с целыми коэффициентами
отличен от единицы, то можно ввести новую неизвестную у с помощью формулы 
тогда для у получится уравнение
или
которое уже имеет) старший коэффициент, равный единице, и к которому применим способ отыскания целых корней, указанный выше. Целые корни для у Кадут рациональные, вообще говоря, дробные корни для 
Пример 3. Решить уравнение
Решение. Делаем подстановку 
. После очевидных преобразований имеем
Подбираем целый корень для у, находим
Делим левую часть уравнения на 
и получаем уравнение
с корнями 
. Окончательно выписываем решения исходного уравнения:
