173. Углы с параллельными или перпендикулярными сторонами.

Для углов с соответственно параллельными сторонами справедливы следующие предложения:

1. Если стороны а и b одного угла соответственно параллельны сторонам а и b другого угла и одинаково с ними направлены, то углы равны.

2. Если при том же условии параллельности стороны а и b поправлены противоположно сторонам а и b, то углы также равны.

3. Если, наконец, стороны а и параллельны и одинаково направлены, а стороны параллельны и противоположно направлены, то углы дополняют друг друга до развернутого.

Доказательство. Докажем первое из этих предложений. Пусть стороны углов и параллельны и одинаково направлены (рис. 191). Соединим вершины углов прямой .

При этом возможны два случая: прямая проходит внутри углов или вне этих углов (рис. 191, б). В обоих случаях доказательство очевидно: так, в первом случае

но , откуда получаем . Во втором случае имеем

и результат вновь вытекает из равенств

Рис. 191.

Доказательства предложений 2 и 3 оставляем читателю. Можно сказать, что если стороны углов соответственно параллельны, то углы либо равны, либо дают в сумме развернутый.

Рис. 192.

Очевидно, они равны, если оба одновременно острые или оба тупые, и сумма их равна , если один из них острый, а другой тупой.

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами равны или дополняют друг друга до развернутого угла.

Доказательство. Пусть а — некоторый угол (рис. 192), а О — вершина угла, образованного прямыми соответственно перпендикулярными к может быть любой из четырех углов, образованных двумя этими прямыми). Повернем угол (т. е. обе его стороны) вокруг своей вершины О на прямой угол; получим угол, равный ему, но такой, стороны которого перпендикулярны к сторонам стороны повернутого угла обозначены на рис. 192 через Они параллельны прямым тип, образующим данный угол а. Поэтому углы значит, и углы либо равны, либо образуют в сумме развернутый угол.