160. Равенство фигур. Движение.

В этом пункте мы не ограничиваемся плоскостью, а рассматриваем пространство. Основные понятия геометрии имеют абстрактный, идеализированный характер: точка не имеет никакой протяженности, линия лишена толщины и т. д. Это не мешает нам понимать, что материальными прообразами абстрактных понятий геометрии могут являться такие осязаемые вещи, как маленький стальной шарик, тонкий стержень, шлифованная поверхность стекла и т. п. Эти предметы материальной природы превращаются в идеализированные понятия геометрии путем отвлечения от физических и химических свойств; но если эти свойства не имеют значения для геометрии, изучающей, хотя и в абстрактном математическом виде, пространственные формы материального мира, то одно из свойств физических тел — их твердость, способность сохранять свои размеры и форму, находит отражение в геометрии, в идее движения.

Твердое физическое тело можно перемещать в пространстве, причем ни размеры, ни форма тела не претерпевают никакого изменения. Эту способность тел двигаться, т. е. занимать в пространстве различные положения, взятую отвлеченно от понятий, относящихся к временному течению процесса движения (скорость, ускорение), допускают в отношении геометрических фигур и тел. Поэтому такие выражения, как «переместим отрезок А В в положение АВ», «совместим угол а с углом и т. д., следует понимать, представляя себе отрезок как твердый, хотя и не имеющий толщины, стержень, угол — как твердый сектор плоскости и т. д.

Рис. 154.

Рассмотрим два отрезка А В и CD (рис. 154). Переместим отрезок АВ так, чтобы его конец А совпал с концом С отрезка CD и чтобы оба отрезка оказались на одном луче с началом в точке С. Отрезок АВ займет положение АВ. Если при этом он совпадет с отрезком CD, то говорят, что отрезки АВ и CD равны. Итак, равенство отрезков определяется возможностью их совмещения.

Очевидный смысл имеют понятия большего и меньшего отрезка. Так же определяется и проверяется равенство двух углов: чтобы выяснить, равны ли углы ВО А (рис. 155), совместим сторону ND угла DNC со стороной О В угла ВО А так, чтобы оба угла располагались в одной полуплоскости относительно своей общей стороны. Если при этом вторые стороны углов совпадут, то углы считаются равными.

Рис. 155.

Рис. 156.

На рис. 155 оказывается меньше , так как при наложении его на сторона NC проходит внутри угла ВО А.

Две плоские фигуры, например два треугольника (рис. 156), считаются равными, если их можно совместить так, что они совпадут. На рис. 156 показан ряд положений треугольника ABC в процессе его движения с целью совмещения с треугольником АВС.

Рис. 157.

Два треугольника на рис. 157 расположены так, что один из них как бы является отражением другого в «зеркале» LM: вершины А, А; В, В; С, С расположены симметрично относительно LM, т. е. так, что прямая LM перпендикулярна к отрезкам ВВ, и делит каждый из них пополам. Треугольники ABC и АВС также можно совместить; для этого следует перегнуть плоскость по линии LM (как складывают пополам лист бумаги). При этом вершины треугольников попарно совместятся, треугольники ABC и АВС — равные. Заметим, что их нельзя совместить, пользуясь лишь движением любого из них в самой плоскости чертежа (наподобие того, как это сделано на рис. 156).