§ 3. Основные задачи на построение

180. Линейка и циркуль.

В чертежной практике применяются различные инструменты: линейки (с делениями и без них), циркули разных типов, чертежные треугольники, лекала и т. п. При теоретическом изучении геометрических построений рассматриваются лишь два основных инструмента: линейка без делений и циркуль, которые имеют в геометрии идеальный, абстрактный характер. Так, всякая реальная линейка имеет конечную длину, линейка же в геометрических построениях считается бесконечной; раствор циркуля в геометрии не ограничен.

Предполагается, что линейка и циркуль могут быть применены для выполнения строго определенного набора основных, первичных построений.

Линейка предназначена для проведения прямых линий без ограничения их длины. Если дана точка, то с помощью линейки можно провести через эту точку одну или несколько прямых произвольным образом.

Линейка позволяет также провести прямую через любые две заданные точки. Заметим, что в плоскости или на уже проведенной в ней прямой всегда могут быть произвольным образом взяты точки в любом числе. Если построены две пересекающиеся прямые, то считается известной точка их пересечения.

С помощью циркуля считается возможным:

1) провести окружность с любым центром и произвольным радиусом, в том числе окружность, проходящую через заданную точку;

2) отложить на данной прямой от любой ее точки и в любом из двух возможных направлений отрезок (произвольный или равный любому заданному отрезку).

Если изображены окружности и прямые, то и все точки их пересечения, если таковые имеются, считаются известными. В связи с этим понятен смысл часто употребляемых выражений вроде «сделаем на прямой а засечку» тем или иным радиусом, с тем иным центром. Это значит, что проводится некоторая окружность (часто изображаемая условно лишь небольшой дугой, ей принадлежащей) ради получения точки ее пересечения с данной прямой а.

Рис. 207.