232. Взаимное расположение прямой линии и плоскости.

Прямая может занимать по отношению к плоскости одно из следующих положений: 1) лежать в плоскости, 2) иметь с плоскостью одну общую точку, т. е. пересекать эту плоскость, 3) не иметь с плоскостью общих точек.

В последнем случае говорят, что плоскость и прямая параллельны. Существование параллельных между собой прямых и плоскостей следует из таких рассуждений. Возьмем плоскость и какую-либо прямую а, лежащую в ней (рис. 326). Через произвольную точку А, не принадлежащую плоскости , в плоскости, содержащей точку А и прямую а, проведем прямую а, параллельную прямой а. Плоскость, проходящая через параллельные прямые а и а, на рисунке обозначена через Теперь видно, что прямая не пересекает плоскости , так как в противном случае точка пересечения лежала бы в плоскости значит, на прямой а.

Рис. 326.

Рис. 327.

Прямые а и а пересекались бы в этой точке, что невозможно, так как прямые а к а по построении: параллельна. Наши рассуждения доказывают следующее пред ложение.

Теорема 1. Прямая, не лежащая в некоторой плоскости и параллельная одной из прямых, расположенных в этой плоскости сама параллельна этой плоскости.

Верна и обратная

Теорема 2. Если прямая параллельна некоторой плоскости то в плоскости существуют прямые, параллельные данной прямой

Доказательство. Пусть прямая параллельна плоскости (рис. 327). Возьмем в плоскости произвольную точку и проведем плоскость , через прямую и точку А. Эта плоскость пересечет данную плоскость по прямой , и, как легко видеть, прямые будут параллельны. Действительно, лежат в одной плоскости и не могут пересекаться, так по условию прямая не имеет общих точек с плоскостью . Итак,

Прямая линия параллельна плоскости тогда и только тогда, когда она не лежит в этой плоскости и параллельна одной и: прямых, лежащих в этой плоскости.

Заметим еще, что если прямая а параллельна плоскости и через эту прямую проводятся плоскости Пересекающие , то линии пересечения все параллельны данной прямой а. Оки параллельны и между собой: если бы две из них пересекались, то точка их пересечения принадлежала бы плоскости , а значит, и прямой а, что невозможно (рис. 328).

Теперь уже нетрудно обосновать и предложение (п. 231): Теорема 3. Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Доказательство. Пусть . Требуется доказать, что Проведем плоскости , к через прямые . Прямая b параллельна плоскости , так как она параллельна одной из прямых этой плоскости.

Рис. 328.

Рис. 329.

Построим затем плоскость проходящую через прямую b и какую-либо точку М, лежащую на прямой а. Эта плоскость пересечет плоскость по прямой, параллельной с и, значит, совпадающей . Из доказанного выше предложения следует, что прямая а будет параллельна и прямой b.

Вернемся теперь ко второму предложению, сформулированному в п. 231:

Теорема 4. Два угла с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны.

Рис. 330.

Доказательство. Пусть стороны углов АОВ и на рис. 330 параллельны и одинаково направлены. Соединим вершины углов О и О отрезком ОО; на сторонах отложим соответственно равные отрезки ; в четырехугольнике стороны ОА и равны по построению и параллельны, поэтому — параллелограмм (существенно, что ОА и ОА одинаково направлены, т. е. ОА и ОА лежат по одну сторону от ). Значит, отрезок АА равен и параллелен . Отрезок ВВ также равен и параллелен 00. Поэтому АА и ВВ — равные и параллельные между собой отрезки. Четырехугольник представляет собой параллелограмм. Поэтому . В треугольниках QAB и ОАВ три пары равных сторон, и поэтому треугольники равны. Значит, равны и углы и , что и требовалось доказать.