72. Логарифмические уравнения.

Логарифмическими называются уравнения, содержащие неизвестную под знаком логарифма или в основании логарифма (или и то и другое одновременно). Например, логарифмическими будут уравнения

Следует заметить, что при решении логарифмических уравнений необходимо учитывать о. д. з.: под знаком логарифма могут находиться только положительные величины, в основании логарифмов — только положительные величины, отличные от единицы.

Простейшим логарифмическим уравнением назовем уравнение вида

Оно решается потенцированием:

Решение других логарифмических уравнений иногда удается свести к решению уравнений простейшего вида (72.1).

При решении логарифмических уравнений используются свойства логарифмов и действие потенцирования. Приведем примеры решения логарифмических уравнений.

Пример 1. Решить уравнения:

Решение, а) По определению логарифма имеем Отсюда

б) . Отсюда Берем только действительное значение равное 3. Таким образом,

в) Отсюда из двух корней полученного квадратного уравнения берем только положительный. Итак, единственный корень данного уравнения

Обратим внимание, что, решая уравнения из примера 1, мы не стали заранее определять о. д. з. Вместо этого мы всякий раз проверяем, удовлетворяют ли найденные значения уравнению (это иногда занимает меньше времени, чем отыскание о. д. з.).

В следующем примере мы встречаемся с логарифмами по различным основаниям.

Пример 2. Решить уравнения; a) ; б) .

Решение, а) В соответствии со следствием из свойства 8 п. 27 имеем

Это дает возможность записать данное уравнение в виде

Здесь логарифмы берутся уже по одному и тому же основанию 4 (это же можно было получить и с помощью модуля перехода). Заменяя сумму логарифмов, расположенную в левой части последнего уравнения, логарифмом произведения, получим

Отсюда находим

Для определения имеем уравнение третьей степени (п. 62). Испытав делители свободного члена находим, что одним из корней этого кубического уравнения служит Делением его левой части на двучлен получаем квадратное уравнение с корнями которые для исходного логарифмического уравнения не имеют смысла и по этой причине должны быть отброшены.

Итак, корнем данного уравнения служит число х = 2.

б) И здесь логарифмы берутся по разным основаниям. В качестве их общего основания выберем, например, число 2. Используя модуль перехода, перепишем данное уравнение так:

Преобразуя это уравнение, найдем

Имеем, потенцируя,

В таком случае . Более просто этот ответ можно записать, заметив, что

Отсюда

Если требуется записать приближенное значение этого корня в форме десятичной дроби, то это можно сделать с помощью таблиц логарифмов так: сначала найти

а потом найти