183. Другие задачи на построение.

Задачи на построение, рассмотренные в пп. 181 и 182, мы можем назвать основными. При решении других, более сложных задач на построение их приходится использовать как вспомогательные. При этом мы уже не объясняем каждый раз, как они выполняются, а просто говорим: «опустим из точки перпендикуляр на прямую» или «проведем биссектрису угла» и т. д., считая, что необходимые для этого построения читателю известны. Приведем несколько примеров несложных задач на построение.

Рис. 212

Задача 1. Дан угол. Внутри угла найти точку, находящуюся на заданных расстояниях от сторон угла.

Решение. Пусть АОВ — данный угол (рис. 212), отрезки и изображают расстояния искомой точки от сторон О А и ОВ соответственно. В решении этой задачи, как и многих других используется метод геометрических мест. Заметим, что геометрическое место точек, отстоящих от данной прямой ОА на расстояние состоит из двух прямых, параллельных данной и отстоящих от нее на расстояние .

В нашем случае искомая точка лежит на той из указанных прямых, часть которой расположена внутри угла. Теперь легко указать план решения задачи. В произвольной точке стороны О А восставим к ней перпендикуляр и отложим на нем отрезок d, в сторону внутренней области угла. Через конец этого перпендикуляра проведем прямую, параллельную ОА. То же проделываем со стороной ОВ, но на этот раз длину перпендикуляра берем равной Искомой точкой будет точка пересечения построенных прямых, параллельных сторонам угла.

Читатель должен выполнить здесь и в следующих задачах необходимые построения циркулем и линейкой.

Задача 2. На данной прямой найти точку, равноудаленную от двух данных точек плоскости.

Решение. Пусть А и В — данные точки, а — прямая (рис. 213). На прямой а мы должны найти точку D, находящуюся на одинаковых расстояниях от точек А и В. Известно, что геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных точек, служит перпендикуляр к отрезку АВ, восставленный в его середине.

Отсюда ясно решение: искомая точка D лежит на пересечении указанного перпендикуляра с прямой а.

Замечание. Задача будет неразрешимой, если перпендикуляр окажется параллелен а; это получится, если отрезок АВ перпендикулярен к а.

Рис. 213.

Рис. 214.

Задача станет неопределенной (любая точка прямой а будет решением), если АВ перпендикулярен к а и, кроме того, а проходит через середину АВ.

Задача 3. На данной прямой а найти точки, равноотстоящие от данных двух пересекающихся прямых b и с.

Указание. Искомые точки лежат на пересечении данной прямой с любой из биссектрис углов, образованных прямыми b и с (рис. 214).

Упражнения

1. Найти геометрическое место точек, удаленных от данной окружности на заданное расстояние (берется кратчайшее расстояние). Исследовать решение задачи в зависимости от заданного расстояния и величины радиуса окружности.

2. Центр одной окружности лежит на другой окружности. При каком соотношении между радиусами они будут касаться?

3. Построить угол, равный одной четверти прямого угла.

4. Выполнить полностью все построения задач 1—3 п. 183.

5. Построить геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

6. Найти точки, отстоящие от данной прямой на заданное расстояние а и удаленные от некоторой точки на указанное расстояние b. Всегда ли разрешима задача? Сколько решений она может иметь?