Главная > Элементарная математика
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

253. Объем пирамиды и конуса.

В п. 249 мы видели, что две призмы или два цилиндра с равными высотами и равновеликими основаниями имеют равные объемы. Аналогично обстоит дело и с пирамидами (конусами):

Две пирамиды (два конуса) равновелики, т. е. имеют равные объемы, если их высоты равны и основания равновелики.

Для обоснования этого утверждения рассмотрим сначала какую-либо пирамиду и ее сечения плоскостями, параллельными плоскости основания (рис. 391). Как уже замечено, эти сечения являются подобными многоугольниками. Отношения линейных размеров этих сечений равны отношению высот основной пирамиды и пирамиды, отсеченной от нее плоскостью соответствующего сечения, а площади, следовательно, относятся, как квадраты этих высот: .

Пусть теперь две пирамиды (рис. 392) имеют равные высоты и равновеликие основания; пусть обе пирамиды, как показано на рис. 392, помещены своими основаниями на одну и ту же плоскость.

Рис. 391.

Рис. 392.

Тогда объемы их оказываются равны в силу принципа Кавальери; именно, площади сечений этих пирамид на любой высоте будут равны между собой. Те же соображения применимы и к конусам. Итак, объем пирамиды или конуса зависит не от формы основания, но лишь от его площади и от высоты тела.

В силу этого для вывода формулы объема пирамиды и конуса достаточно, например, найти объем пирамиды с треугольным основанием, что мы и сделаем. Справедлива

Теорема. Объем треугольной пирамиды равен одной трети объема призмы с тем же. основанием и той же высотой, что и данная пирамида.

Доказательство. Будем исходить из треугольной призмы на рис. 393, а. Проведем плоскость через вершину А верхнего основания призмы и противолежащее ребро ВС нижнего основания. Эта плоскость отсечет от призмы треугольную пирамиду AABC (она показана также рядом на отдельном чертеже грнс. 393, б). Оставшуюся часть призмы разложим на два тела, проведя плоскость через диагонали АС и ВС боковых граней. Полученные два тела также являются пирамидами; считая треугольник АВС основанием одной из них, а С ее вершиной, увидим, что ее основание и высота такие же, как и у первой отсеченной нами пирамиды, поэтому пирамиды AABC и равновелики.

Кроме того, обе новые пирамиды С АВС и АВВС также равновелики; это станет ясным, если примем за их основания треугольники ВСВ и ВСС. Пирамиды САВС и АВВС имеют общую вершину А, а их основания расположены в одной плоскости и равны; следовательно, пирамиды равновелики. Итак, призма разложена на три равновеликие между собой пирамиды; объем каждой из них равен одной трети объема призмы.

Рис. 393.

Рис. 394.

Так как форма основания несущественна, то, вообще, объем пирамиды или конуса равен одной трети объема призмы с той же высотой и тем же (или равновеликим) основанием. Вспоминая формулу, выражающую объем призмы и цилиндра, получим окончательный результат:

Объем пирамиды или конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

В частности, для кругового конуса, радиус основания которого равен R, а высота h, получим, замечая, что

Задача 1. Найти объем правильной четырехугольной пирамиды, если ее боковое ребро равно , а угол наклона боковых граней к плоскости основания равен а.

Решение. Проведем высоту пирамиды и высоту боковой грани SK (рис. 394). Находим .

Таким образом, заменяя h в последнем равенстве его выражением получим откуда

и искомый объем вычисляется по формуле

Задача 2. Конус вписан в шар радиуса R. Угол между осью и образующей конуса равен а. Найти объем конуса.

Решение. Изобразим равнобедренный треугольник с углом при Еершине, равным 2 а, вписанный в круг радиуса R (рис. 395, а). Вращая эту фигуру вокруг ее оси симметрии ВМ, получим тело, которое дано нам в условии задачи (рис. 395, б).

Рис. 395.

Рис. 396.

Замечаем, что а (центральный угол вдвое больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу). Отсюда

или

1
Оглавление
email@scask.ru