253. Объем пирамиды и конуса.

В п. 249 мы видели, что две призмы или два цилиндра с равными высотами и равновеликими основаниями имеют равные объемы. Аналогично обстоит дело и с пирамидами (конусами):

Две пирамиды (два конуса) равновелики, т. е. имеют равные объемы, если их высоты равны и основания равновелики.

Для обоснования этого утверждения рассмотрим сначала какую-либо пирамиду и ее сечения плоскостями, параллельными плоскости основания (рис. 391). Как уже замечено, эти сечения являются подобными многоугольниками. Отношения линейных размеров этих сечений равны отношению высот основной пирамиды и пирамиды, отсеченной от нее плоскостью соответствующего сечения, а площади, следовательно, относятся, как квадраты этих высот: .

Пусть теперь две пирамиды (рис. 392) имеют равные высоты и равновеликие основания; пусть обе пирамиды, как показано на рис. 392, помещены своими основаниями на одну и ту же плоскость.

Рис. 391.

Рис. 392.

Тогда объемы их оказываются равны в силу принципа Кавальери; именно, площади сечений этих пирамид на любой высоте будут равны между собой. Те же соображения применимы и к конусам. Итак, объем пирамиды или конуса зависит не от формы основания, но лишь от его площади и от высоты тела.

В силу этого для вывода формулы объема пирамиды и конуса достаточно, например, найти объем пирамиды с треугольным основанием, что мы и сделаем. Справедлива

Теорема. Объем треугольной пирамиды равен одной трети объема призмы с тем же. основанием и той же высотой, что и данная пирамида.

Доказательство. Будем исходить из треугольной призмы на рис. 393, а. Проведем плоскость через вершину А верхнего основания призмы и противолежащее ребро ВС нижнего основания. Эта плоскость отсечет от призмы треугольную пирамиду AABC (она показана также рядом на отдельном чертеже грнс. 393, б). Оставшуюся часть призмы разложим на два тела, проведя плоскость через диагонали АС и ВС боковых граней. Полученные два тела также являются пирамидами; считая треугольник АВС основанием одной из них, а С ее вершиной, увидим, что ее основание и высота такие же, как и у первой отсеченной нами пирамиды, поэтому пирамиды AABC и равновелики.

Кроме того, обе новые пирамиды С АВС и АВВС также равновелики; это станет ясным, если примем за их основания треугольники ВСВ и ВСС. Пирамиды САВС и АВВС имеют общую вершину А, а их основания расположены в одной плоскости и равны; следовательно, пирамиды равновелики. Итак, призма разложена на три равновеликие между собой пирамиды; объем каждой из них равен одной трети объема призмы.

Рис. 393.

Рис. 394.

Так как форма основания несущественна, то, вообще, объем пирамиды или конуса равен одной трети объема призмы с той же высотой и тем же (или равновеликим) основанием. Вспоминая формулу, выражающую объем призмы и цилиндра, получим окончательный результат:

Объем пирамиды или конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

В частности, для кругового конуса, радиус основания которого равен R, а высота h, получим, замечая, что

Задача 1. Найти объем правильной четырехугольной пирамиды, если ее боковое ребро равно , а угол наклона боковых граней к плоскости основания равен а.

Решение. Проведем высоту пирамиды и высоту боковой грани SK (рис. 394). Находим .

Таким образом, заменяя h в последнем равенстве его выражением получим откуда

и искомый объем вычисляется по формуле

Задача 2. Конус вписан в шар радиуса R. Угол между осью и образующей конуса равен а. Найти объем конуса.

Решение. Изобразим равнобедренный треугольник с углом при Еершине, равным 2 а, вписанный в круг радиуса R (рис. 395, а). Вращая эту фигуру вокруг ее оси симметрии ВМ, получим тело, которое дано нам в условии задачи (рис. 395, б).

Рис. 395.

Рис. 396.

Замечаем, что а (центральный угол вдвое больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу). Отсюда

или