81. Иррациональные, показательные и логарифмические неравенства.

Неравенства, в левые и правые части которых входят алгебраические иррациональности, показательные или логарифмические выражения, содержащие неизвестную, называют, соответственно, иррациональными, показательными и логарифмическими неравенствами. Решение таких неравенств может требовать выполнения действий возведения в степень, потенцирования, логарифмирования. При проведении преобразований, связанных с этими действиями, необходимо учитывать соответствующие правила, относящиеся к неравенствам (п. 74). Приведем типичные примеры на решение неравенств названных типов.

Пример 1. Решить неравенство

Решение. Сначала отметим, что о.д.з. задается условием . Далее рассматриваем два возможных случая: 1) правая часть неравенства отрицательна, 2) правая часть неравенства неотрицательна. Если то неравенство заведомо удовлетворяется: его левая часть не меньше нуля, как арифметическое значение квадратного корня. Остается рассмотреть случай .

В этом случае обе части неравенства неотрицательны и неравенство можно, не изменяя его смысла, возвести в квадрат. Получаем

Это приводит к квадратному неравенству

которое удовлетворяется при . Но по предположению , поэтому имеем .

Итак, неравенство (81.1) удовлетворяется при и при т. е., вообще, при . Множество решений неравенства — луч .

Пример 2. Решить неравенство

Решение. В данном случае о.д.з. определяется условием Так как при любых допустимых значениях обе части неравенства положительны, то возводим неравенство в квадрат:

или

Так как слева имеем неотрицательное выражение, то должно выполняться условие в этом случае можно еще раз возвести в квадрат обе части нового неравенства (81.3) и получить

откуда

Учитывая все найденные ограничения на х

приходим к следующему решению: неравенство (81.2) удовлетворяется для х, лежащих в сегменте .

Пример 3. Решить неравенство

Решение. Естественно отнести это неравенство к показательным неравенствам. После небольших преобразований запишем неравенство в форме

Теперь основания равны и неравенство между степенями влечет за собой неравенство того же смысла между показателями степени:

Решаем полученное алгебраическое неравенство обычным способом (метод интервалов):

Имеем интервалы

Неравенству (81.4) удовлетворяют точки интервалов .

Пример 4. Решить логарифмические неравенства: а) .

Решение, а) Приведем логарифмы, входящие в данное неравенство, к общему основанию, например к основанию 4. Имеем

Теперь можно данное неравенство переписать так:

Основание больше единицы. По этой причине логарифмируемые выражения должны быть связаны неравенством того же смысла, что сами логарифмы. Таким образом,

Решим это квадратное неравенство и учтем условие определяющее Получим

Множество решений данного неравенства представляет собой интервал

б) Заметим, что после чего перепишем данное неравенство так:

Отсюда Это неравенство и данное — разного смысла, поскольку основание 0,5 логарифмов меньше единицы. Решив последнее неравенство, находим, что его решения заполняют конечный интервал (-1, 1).

Пример 5. Решить неравенство

Решение. В данном примере неизвестная входит как в основание, так и под знак логарифма; заранее неизвестно, будет ли основание логарифма больше или меньше единицы, при решении придется учитывать обе эти возможности. Начнем решение примера с указания Ясно, что должно быть и, кроме того, как основание логарифма не может быть равно 1). Таким образом о.д.з. состоит из интервалов и (0, 2). Теперь перепишем неравенство в виде

и рассмотрим два случая.

1) - 1 < х < 0. В этом случае основание логарифмов меньше единицы, и, потенцируя, мы изменим смысл неравенства на противоположный:

Учитывая все ограничения на х, получаем .

Теперь основание логарифмов больше единицы, при потенцировании смысл неравенства сохраняется:

и с учетом имеем

Итак, множество решений неравенства (81.5) состоит из интервалов и (72. 2).