254. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды и конуса.

Площадь боковой поверхности произвольной пирамиды равна сумме площадей ее боковых граней. Специальную формулу для выражения этой площади имеет смысл дать в случае правильной пирамиды. Так, пусть на рис. 396 изображена правильная пирамида, в основании которой лежит правильный -угольник со стороной, равной а. Пусть h — высота боковой грани, называемая также апофемой пирамиды. Если, например, кроме стороны а основания, известна длина бокового ребра пирамиды или ее высота, то апофема находится без труда.

В самом деле, если известны а и h, то площадь одной боковой грани равна а вся боковая поверхность пирамиды имеет площадь, равную Так как — периметр основания пирамиды, то можно написать найденную формулу в виде

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению ее апофемы на половину периметра основания.

Перейдем к отысканию площади боковой поверхности конуса. Уточним прежде всего, что мы понимаем под площадью боковой поверхности конуса. Впишем в основание конуса правильные многоугольники со все возрастающим числом сторон (например, путем удвоения числа сторон). С их помощью построим правильные пирамиды, вписанные в конус. За площадь боковой поверхности конуса принимается предел, к которому стремится площадь боковой поверхности правильной пирамиды, вписанной в конус, когда число ее боковых граней неограниченно растет (удваивается). Так же можно описывать пирамиды вокруг конуса. Предел площадей боковых поверхностей правильных пирамид, описанных вокруг конуса, будет по мере увеличения числа их боковых граней стремиться к тому же самому пределу, что и в случае вписанных пирамид. Таким образом, площадь боковой поверхности конуса является общим пределом площадей боковых поверхностей правильных пирамид, вписанных в конус и описанных вокруг него, при неограниченном удвоении числа их боковых граней. Произведем необходимые вычисления. Пусть - периметр основания вписанной -угольной правильной пирамиды, - периметр основания описанной пирамиды. Апофема описанной пирамиды просто равна образующей I конуса, апофема h вписанной пирамиды меньше образующей конуса, но удовлетворяет неравенству , где а — сторона основания вписанной пирамиды. При Отсюда находим для площади боковой поверхности вписанной пирамиды с учетом того, что имеет предел, равный длине окружности

Для случая описанной пирамиды имеем

Оба указанных предела равны одному и тому же числу которое и принимается за площадь боковой поверхности конуса:

Площадь боковой поверхности конуса равна произведению длины его образующей на половину периметра основания

Задача. Найти площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды высоты h, если плоский угол при вершине пирамиды равен а.

Решение. Обозначим сторону основания пирамиды через а, апофему через Из треугольника МОК, учитывая, что отрезок ОК равен одной трети высоты основания, т. е. имеем треугольника МКВ находим Подставляя а из второго равенства в первое, получим

и затем

Отсюда площадь боковой поверхности

Рис. 397.

Читателю предлагается привести ответ к виду