54. Равносильные уравнения.

Пусть даны два уравнения:

Уравнение (54.2) назовем следствием уравнения (54.1), если каждый корень уравнения (54.1) является также корнем уравнения (54.2), иначе говоря, если множество корней уравнения (54.1) входит во множество корней уравнения (54.2).

Пример 1. Рассмотрим два уравнения:

(второе, как легко заметить, получено возведением обеих частей первого уравнения в квадрат).

Второе уравнение является следствием первого; в самом деле, число 2 есть единственный корень первого уравнения и, как легко проверить, является корнем также и второго уравнения; между тем число служит корнем второго уравнения, но не является корнем первого уравнения. Итак, по определению, второе уравнение есть следствие первого уравнения.

Переход от одного уравнения к другому, являющемуся его следствием, удобен, если это новое уравнение проще решить. В этом случае, найдя все его корни, мы подстановкой этих корней в исходное уравнение проверим, какие из них ему удовлетворяют, и тем самым найдем все его решения. На этом приеме основано, например, решение некоторых иррациональных уравнений (п. 70).

Еще более существенным является понятие равносильности двух уравнений.

Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если каждое из них является следствием другого. Иными словами, уравнения называются равносильными, если множества их корней в точности совпадают. Ясно, что два уравнения, порознь равносильные третьему, равносильны друг другу.

Если два уравнения не имеют корней (множества их решений пусты), то их также естественно считать равносильными: все уравнения, не имеющие решений, равносильны между собой.

В процессе решения уравнений часто производятся действия, в результате которых данное уравнение заменяется другим (обычно более простым), ему равносильным. Такой переход от одного уравнения к другому может выполняться на основе следующих утверждений.

Теорема 1. Если к обеим частям уравнения прибавить выражение (функцию), имеющее смысл во всей о. д. з. данного уравнения, то получится уравнение, равносильное данному.

Иначе говоря, если дано уравнение

то уравнение

где имеет смысл в о. д. з. уравнения (54.3), равносильно уравнению (54.3).

Доказательство. При каждом числовом значении из о. д. з. равенство

будет иметь место в том и только в том случае, когда имеет место равенство

множества решений для обоих уравнений совпадают, уравнения равносильны. В частности, если не имеет решений одно из них, то не имеет решений и другое.

Из теоремы 1 вытекает правило о возможности переносить члены уравнения из одной части в другую (с надлежащей переменой знака). Так, уравнение (54.3) всегда можно записать в равносильной ему форме:

Равносильность уравнений (54.3) и (54.5) следует из теоремы 1 (достаточно к обеим частям уравнения (54.3) прибавить - ), но можно обосновать ее и прямо, исходя из определения равносильности уравнений. Если -некоторое значение входящее в о. д. з. обоих выражений то равенство будет выполняться тогда и только тогда, когда будет выполняться равенство (два числа равны, если их разность равнанулю, и обратно).

Если обозначить через f(x), то уравнение (54.5) сведется к виду

В дальнейшем, как правило, мы будем уже рассматривать уравнение в этой форме, т. е. с нулевой правой частью.

В порядке предостережения против необдуманного применения теоремы 1 приведем один простой пример. Уравнение

может быть (перенос членов из одной части в другую) записано в равносильной форме:

Однако уже «естественное» упрощение, состоящее в приведении подобных членов дает уравнение

не равносильное исходному: оно имеет корень который не принадлежит о. д. з. уравнения (54.7) и не является его корнем. Конечно, незаконным здесь был не перенос члена из правой части в левую, а приведение подобных членов, в результате которого изменилась о. д. з. уравнения.

Теорема 2. От умножения обеих частей уравнения на отличное от нуля число а или на выражение которое при всех допустимых значениях имеет смысл и не обращается в нуль, образуются уравнения, равносильные данному уравнению.

Так, умножив обе части уравнения (54.3) на а или на получим уравнения

и

каждое из которых равносильно уравнению (54.3).

Доказательство этой теоремы сходно с доказательством теоремы 1 и предоставляется читателю. Следует также заметить, что при проведении преобразований частей уравнения после умножения на множитель часто происходит изменение о. д. з. и может нарушиться равносильность уравнений.

Практически в процессе решения уравнений иногда приходится производить и умножение на выражения могущие обращаться в нуль при некоторых значениях х. Тогда уравнение

будет иметь нули функции своими корнями (хотя исходное уравнение (54.3) могло и не иметь таких корней). Корни уравнения (54.8), не являющиеся корнями уравнения (54.3), называют посторонними корнями, и при записи ответа они должны быть отброшены.

Появление посторонних корней возможно и при возведении частей уравнения в одну и ту же степень, как это случилось с рассмотренным выше уравнением по возведении его в квадрат образовалось уравнение корень которого оказался посторонним для исходного уравнения.

Вообще, в процессе решения уравнения часто трудно соблюсти требование равносильности; наиболее валено не терять корней уравнения, т. е. от данного уравнения переходить к таким уравнениям, которые являются его следствиями. Возможные посторонние корни могут быть отброшены после проверки их подстановкой в исходное уравнение.

В связи с этим обратим внимание на прием решения уравнений путем разложения их левой части на множители. Пусть в уравнении левая часть представляется в виде произведения и уравнение принимает вид

Множество корней этого уравнения является объединением множеств корней двух отдельных уравнений:

(действительно, произведение будет обращаться в нуль при тех и только тех значениях х, при которых обращается в нуль хотя бы один из сомножителей ). Поэтому исключительно грубой (хотя часто допускаемой учащимися) ошибкой является «сокращение» обеих частей уравнения на их общий мне житель. В записи

ни в коем случае нельзя отбрасывать а следует рассуждать так: переносим члены в левую часть уравнения и выносим за скобки:

Теперь видно, что решениями нашего уравнения (54.8) будут как корни уравнения так и корни уравнения .

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Разложим обе части уравнения на множители:

Перенесем все члены в левую часть уравнения и вынесем за скобки общий множитель:

или

Ясно, что корнями служат значения .