Глава XV. ТРЕУГОЛЬНИКИ, ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ

§ 1. Треугольники

184. Стороны и углы треугольника.

Длины сторон треугольника (короче, стороны треугольника) не могут быть заданы произвольно. Действительно, для произвольного треугольника сумма двух любых сторон больше третьей стороны: АВ так как ломаная длиннее отрезка прямой. Из этого же неравенства находим т. е. разность двух любых сторон треугольника меньше его третьей стороны. Например, из отрезков нельзя построить треугольник, так как Если же даны три отрезка а, b, с такие, что больший из них меньше суммы двух других, то можно построить треугольник, имеющий данные отрезки своими сторонами задача 1). Итак, условие

(где с — наибольший из трех отрезков) необходимо и достаточно для существования треугольника со сторонами а, b, с.

В зависимости от сравнительной величины сторон треугольники могут быть равносторонними, если все стороны равны, равнобедренными, если две стороны равны, и разносторонними, если все стороны различны. У равнобедренного треугольника его равные стороны обычно называют боковыми сторонами, а третью сторону — основанием.

Углы треугольника также не могут быть заданы произвольно, так как справедлива

Теорема 1. Сумма углов любого треугольника равна двум прямым.

Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC (рис. 215) и проведем через одну из его вершин, например В, прямую BD, параллельную противоположной стороне АС. Теперь из чертежа ясно, что (накрест лежащие углы), и так как то что и требовалось доказать.

Продолжая сторону АС, находим как следствие:

Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, с ним не смежных.

Тем самым, внешний угол треугольника больше каждого из его внутренних углов, с ним не смежных:

Таким образом, зная два угла треугольника, мы можем найти и третий. Ясно также, что если один угол в треугольнике прямой или тупой, то два других его угла острые.

Рис. 215.

Рис. 216.

Если один угол треугольника тупой, то треугольник называется тупоугольным; если один угол прямой, то прямоугольным; если все три угла острые, то остроугольным.

Из задач на построение треугольников (п. 189) видно, что при любых данных положительных углах , составляющих в сумме два прямых, существуют треугольники, имеющие своими внутренними углами. Итак, условие

необходимо и достаточно для существования треугольника с углами .

Так как внешний угол треугольника дополняет внутренний смежный с ним угол до развернутого угла, то сумма внешних углов треугольника (рис. 216) равна двум развернутым, или четырем прямым, углам: .

Пример. Внешний угол а равен 120°, угол составляет половину угла у. Найти углы треугольника.

Решение. Внутренний угол . Так как , то

Связь между величинами сторон и углов треугольника устанавливает следующая

Теорема 2. Против большей стороны в треугольнике лежит больший угол. Против равных сторон лежат равные углы.

Обратно: против большего угла лежит большая сторона. Против равных углов лежат равные стороны.

Доказательство. Применим свойства наклонных. Пусть в треугольнике ABC (рис. 217, а) сторона АС больше стороны ВС. Проведем высоту СМ треугольника. Так как наклонная СВ меньше наклонной С А, то ее основание В лежит ближе к основанию высоты СМ, чем основание А наклонной С А. Поэтому, если перегнуть рис. 217, а по СМ, то угол при вершине В перейдет во внешний угол В треугольника АСВ и, следовательно, будет больше угла А, как внутреннего, с ним не смежного. Рис. 217, а построен для случая, когда против данных сторон лежат острые углы. На рис. 217, б показан случай, когда против одной из сторон лежит тупой угол (разобрать самостоятельно).

Рис. 217.

Итак, если между сторонами треугольника имеются неравенства то соответственно и противолежащие углы удовлетворяют неравенствам Равенство углов, лежащих против равных сторон, сразу получится, если учесть, что равные наклонные расположены относительно перпендикуляра (т. е. высоты треугольника) симметрично и совмещаются при сгибе плоскости по перпендикуляру. При этом совмещаются и углы, равенство которых должно быть доказано.

Обратное утверждение, говорящее, что против большего угла лежит большая сторона, получается рассуждением от противного. Так, пусть . Если бы мы имели то должно было бы быть , что противоречит условию. Поэтому , что и требовалось доказать. Так же доказывается, что против равных углов расположены равные стороны. В частности, равносторонний треугольник является и равноугольным. Каждый из его трех углов в этом случае равен 60°.