41. Обратная пропорциональная зависимость. Степенная функция с рациональным показателем степени.

Начнем с исследования степенной функции в случае

или с несколько более общей функции:

(в этом случае говорят, что нахрдятся в обратной пропорциональной зависимости, а число называют коэффициентом обратной пропорциональности). Равенство (41.2) записывают также в симметричной относительно форме:

Таким образом, произведение величин, находящихся в обратной пропорциональной зависимости, постоянно и равно коэффициенту пропорциональности.

Проведем исследование функции (41.2) в случае

Областью определения функции (41.2) служит вся ось кроме точки эта область состоит из двух бесконечных открытых интервалов

Функция не обращается в нуль. Если , то (в силу для отрицательных функция также принимает отрицательные значения. Областью изменения функции является множество всех действительных чисел, кроме нуля.

3) Функция (41.2) нечетна (докажите); ее график симметричен относительно начала координат. Достаточно поэтому рассмотреть лишь ту его часть, которая соответствует интервалу .

График функции (41.2) обладает и симметрией относительно биссектрис координатных углов. Покажем, например, его симметрию относительно биссектрисы I—III углов. Запись (41.3) совершенно симметрична относительно поэтому, если точка лежит на графике функции, то и симметричная с ней точка имеющая координаты лежит на том же графике; из равенства следует

Это соображение применимо всякий раз, когда соотношение между х и у можно представить в форме, симметричной относительно х и у, т. е. в виде причем функция удовлетворяет условию .

4) При функция (41.2) убывающая; действительно, из следует Функция является убывающей и в интервале (проверьте самостоятельно). Было бы ошибкой тем не менее считать функцию убывающей во всей области определения: в точке она не определена, имеется два интервала ее монотонности: в каждом из которых она убывает.

5) Изучим характер изменения у при условии, что х принимает все большие положительные значения (стремится к бесконечности). Ясно, что при этом будет приближаться к нулю, оставаясь все же положительным. Графически это означает, что кривая приближается (при движении точки вправо) к оси абсцисс, оставаясь выше оси абсцисс. Ось является асимптотой графика обратной пропорциональности.

Если, напротив, заставить приближаться к нулю, оставаясь положительным, то у будет неограниченно возрастать (стремиться к бесконечности). График имеет и вторую асимптоту — ось Оу (последнее ясно также из наличия асимптоты и симметрии относительно прямой у = х). Кривая, соответствующая разобранному случаю показана на рис. 31, а; случай рассматривается аналогично, график изображен на рис. 31, б.

Кривая, служащая графиком обратной пропорциональной зависимости, называется равнобочной гиперболой.

В обоих случаях гипербола состоит из двух отдельных частей, называемых ветвями гиперболы. Гипербола имеет оси симметрии (здесь они совпадают с биссектрисами координатных углов), две асимптоты (они совпали с координатными осями), центр симметрии (помещающийся в точке пересечения осей симметрии и асимптот).

Рис. 31.

Рис. 32.

Рис. 33

На рис. 32 показаны графики функций при исследование этих функций предоставляется читателю.

В качестве примеров степенных функций с дробными показателями степени рассмотрим

Функцию можно рассматривать как обратную по отношению к поэтому можно построить ее график как кривую, симметричную с кубической параболой относительно биссектрисы I—III координатных углов (рис. 33).

Ясно, что и не зная правила, относящегося к графикам взаимно обратных функций, мы могли бы переписать уравнение в равносильном виде и строить график функции как кубической функции от у.

В случае функции область определения — полуось . И здесь можно применить правило, относящееся к графикам взаимно обратных функций; в самом деле, если мы рассмотрим функцию во всей ее области определения то она не будет монотонной и не будет иметь обратной функции.

Рис. 34.

Рис. 35.

Возьмем, однако, функцию ограничив область изменения положительной полуосью (рис. 34). Теперь функция монотонна (на всей полуоси ) и имеет обратную функцию у график которой показан на том же рис. 34.

Покажем еще график функции называемый часто полукубической параболой.

Проведем краткое исследование функции.

1) Область определения — вся числовая ось.

2) Функция неотрицательна и обращается в нуль только при график функции проходит через начало координат и лежит выше оси абсцисс.

3) Функция четная, ее график симметричен относительно оси

Функция монотонно возрастает при положительных (и монотонно убывает при отрицательных что видно, например, из симметрии графика относительно Оу).

5) При неограниченно растущем функция также растет (стремится к бесконечности), но медленнее, чем равенство влечет за собой т. е. при отношение уменьшается, приближаясь к нулю. Это означает, что хорда, соединяющая точку (0, 0) с любой точкой , наклонена к оси Ох по мере удаления точки в бесконечность под все более острым углом (рис. 35), график поднимается полого.

Исследуем еще вид кривой вблизи начала координат. Здесь при малых значениях отношение показывающее наклон хорды, весьма велико, кривая входит в начало координат, тесно приближаясь к оси Оу (касаясь оси ). График на рис. 35 построен с учетом этого исследования и с использованием отдельных точек .

Аналогичными приемами могут быть исследованы функции с любыми рациональными показателями степени.