136. Операции сложения (вычитания).

Выведем теперь некоторые соотношения между обратными тригонометрическими функциями.

Теорема 1. Для всех х из отрезка [-1, 1] имеет место тождество

Доказательство. По определению

Заметим, что По формуле приведения имеем

Итак, аргументы заключены в отрезке в котором синус монотонно возрастает от —1 до +1, и имеют одинаковый синус, равный . Следовательно, сами аргументы также равны, т. е. , откуда и получаем тождество (136.1).

Теорема 2. Для всех имеет место тождество

Тождество (136.2) доказывается так же, как и тождество (136.1). Рекомендуем читателю провести это доказательство самостоятельно.

Советуем читателю в качестве упражнения проиллюстрировать тождества (136.1) и (136.2) на чертежах, построив на одном из них графики функций а на другом — графики функций

Аналогично предыдущему могут быть получены формулы для и т. д. Мы не будем их выводить, а приведем ряд примеров, на которых покажем метод решения таких задач.

Пример 1. Проверить, имеет ли место равенство

Решение. Обозначим Заметим, что следовательно, Найдем теперь Согласно формуле (115.4) и формулам п. 135 имеем

Итак, причем . Следовательно, Если бы мы знали только, что , то отсюда еще нельзя было бы заключить, что ибо, например, и Здесь существенно то, что аргумент находится в интервале монотонности косинуса, а в интервале монотонности функция не может принимать одинаковые значения в различных точках интервала.

Пример 2. Проверить, имеет ли место равенство

Решение. Обозначим Заметим, что Следовательно, Поэтому не может равняться Интересно, что все же Проверим неочевидное равенство

Итак,

Рекомендуем читателям доказать, что .

Пример 3. Проверить, имеет ли место равенство

Решение. На основании формулы . Предполагаемое равенство перейдет в равенство

Воспользовавшись формулой (136.1), получим

Обозначим Заметим, что

Если мы докажем теперь, что то будет доказано равенство а тем самым и предполагаемое равенство

Итак, Следовательно, справедливо и равенство

Пример 4. Доказать, что

Решение. Обозначим Заметим, что каждое из заключено в пределах Следовательно,

Если нам удастся доказать теперь, что то предполагаемое равенство будет доказано, ибо единственный аргумент в интервале , тангенс которого равен 1, есть Заметим, что

и

Далее,

Рис. 136.

Следовательно, равенство имеет место.

Пример 5. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение. Функция определена всюду, кроме Обозначим Заметим, что следовательно, Теперь найдем

Итак, мы имеем , а это возможно, если или Равенство может иметь место только тогда, когда одновременно , а эти последние неравенства выполняются, если одновременно

Система неравенств

удовлетворяется, если Если же , то . Итак,

График исследуемой функции изображен на рис. 136.

Упражнения

1. Вычислить:

2. Вычислить:

3. Проверить, имеют ли место равенства:

4. Вычислить:

5. Доказать тождества:

6. Вычислить:

7. Вычислить:

8. Доказать следующие тождества:

9. Проверить, имеют ли место равенства:

10. Исследовать функции и построить их графики: