226. Соотношения между стороной, радиусом и апофемой.

При данном правильный многоугольник с вершинами определен с точностью до подобия. Поэтому отношения между стороной, апофемой и радиусом должны зависеть только от . Их легко выразить, пользуясь тригонометрией. Обратимся к рис. 314, где обозначают соответственно сторону, радиус и апофему правильного -угольника. Угол между радиусами, проведенными из центра в соседние вершины многоугольника, равен

Легко видеть, что имеют место соотношения

а также

по которым, зная любую из трех величин можно найти две другие.

В частности, для правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса R, имеем

для квадрата при тех же условиях

для правильного шестиугольника

В указанных частных случаях легко получить те же результаты и не используя общих формул; рекомендуем выполнить это читателю.

Пример. Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, равна а; найти длину стороны правильного шестиугольника, описанного около этой же окружности.

Решение. Сторона треугольника равна а, значит, радиус описанной окружности он служит апофемой шестиугольника, и потому сторона последнего