90. Свойства геометрической прогрессии.

Напомним, что среднее геометрическое положительных чисел определяется формулой

В частности, среднее геометрическое двух положительных чисел равно арифметическому значению квадратного корня из их произведения.

Рассмотрим теперь некоторые свойства геометрической прогрессии.

1. Каждый член знакоположительной геометрической прогрессии представляет собой среднее геометрическое его соседних членов (исключение представляет первый член, а у конечной прогрессии также последний член, так как они имеют только по одному соседнему - члену).

Доказательство. Для члена члены будут соседними. По определению прогрессии имеем

откуда

Перемножим эти равенства, извлечем корень из результата (возьмем его арифметическое значение) и получим

а это и надо было доказать.

2. У конечной геометрической прогрессии произведения членов, равноотстоящих от ее концов, равны между собой и равны произведению крайних членов.

Доказательство. Так же как и у арифметической прогрессии, на месте от начала и от конца геометрической прогрессии, имеющей членов, находятся члены соответственно. Найдем произведение этих членов, воспользовавшись формулой (89.1):

Но поэтому

что и требовалось доказать.