149. Преобразование произведения в сумму или разность.

Рассмотрим уравнения:

где — какие-то постоянные коэффициенты. Если числа удовлетворяют одному из следующих условий:

или

то уравнения (149.1), (149.2) могут быть решены с помощью приема, основанного на переходе от произведений тригонометрических функций к полусуммам или к полуразностям. Для уравнения (149.3) условия (149.5), (149.6) заменяются условием

Для уравнения же (149.4) эти условия заменяются условиями

Рассмотрим, например, уравнение (149.1). Применив к левой и правой частям этого уравнения формулу (123.3), придем к уравнению

или

Если, например, в уравнении (149.1) , то (149.10) приобретает вид

Уравнения типа (149.11) разобраны в п. 146.

Пр имер. Решить уравнение

Решение. Применив к левой и правой частям уравнения (149.12) формулу (123.3), получим

или

Перенеся в левую часть уравнения и применив формулу для разности косинусов, получим уравнение

распадающееся на два уравнения:

Общее решение первого уравнения: Общее решение второго уравнения: Так как при мы имеем (совокупность решений содержит совокупность решений ), то общее решение уравнения (149.12) можно записать в виде

Рекомендуем читателю самостоятельно рассмотреть уравнения