56. Графическое решение уравнений.

Если уравнение дано в форме

где - функция от то корни уравнения будут абсциссами точек пересечения графика функции с осью функции . Если изображен график функции то корни уравнения находятся из чертежа (с известной степенью точности). Поэтому в случае, если уравнение (56.1) решить алгебраическими методами трудно, можно приблизительно определить его корни, построив график функции Обычно удобней, однако, представить уравнение (56.1) в виде

где графики которых проще графика

Значения действительных корней уравнения (56.2) приближенно можно получить, взяв абсциссы точек пересечения графиков функций . В самом деле, если графики функций пересекаются в точке с абсциссой то ординаты точки пересечения будут также равны, т. е. будет иметь место равенство Это и означает, что число удовлетворяет уравнению (56.2).

Если графики функций не пересекаются, то это означает, что уравнение (56.2) действительных корней не имеет.

Пример 1. Решить графически уравнение

Решение. Можно было бы строить график функции и искать его точки пересечения с осью абсцисс.

Значительно проще, однако, представить уравнение в виде

и построить графики двух функций: (рис. 59). Графики пересекаются только в одной точке, данное уравнение имеет единственный действительный корень .

Графический метод используется также и при решении систем двух уравнений с двумя неизвестными. Для этого по каждому из уравнений системы строят соответствующую ему линию и находят по чертежу абсциссы и ординаты точек пересечения этих линий.

Пример 2. Решить графически систему уравнений

Решение. Уравнения системы перепишем так

Первое из них является уравнением параболы, ось которой параллельна оси ординат (п. 45). Можно сообразить, что и второе уравнение определяет параболу, но такую, у которой ось параллельна оси абсцисс (рис. 60).

Рис. 59.

Рис. 60.

Эти параболы пересекаются в двух точках: А и В. Отсюда следует, что данная система имеет два действительных решения. Одно из них можно найти, отыскав координаты точки А. Из чертежа находим, что . Это решение (1, —2) найдено точно. Найдя координаты точки В, читатель отыщет приближенно еще и решение данной системы.

Упражнения

1. Решить графически уравнения:

2, Решить графически систему уравнений