29. Применение десятичных логарифмов к вычислениям.

Как уже было указано выше, над логарифмами чисел производятся более простые действия, чем над самими числами: умножение заменяется сложением, деление—вычитанием, возведение в степень — умножением на показатель степени и т. д. В сочетании с наличием удобных таблиц десятичных логарифмов это позволяет широко использовать десятичные логарифмы для упрощения вычислений.

Пример 1. Вычислить с помощью таблиц: а) б) .

Решение, а) Обозначим искомое число через х. С помощью правила логарифмирования произведения (26.5) найдем

Логарифмы в правой части равенства найдем по таблицам, запишем в столбец и сложим:

Дадим пояснение к тому, как получена характеристика: в конце действия сложения мантисс получаются две целых и одна десятая. Ясно, что одну десятую мы оставляем мантиссе — так определяется ее первая цифра, а две единицы отдаем характеристике: Теперь по найденному из таблиц получаем Характеристика оказалась равной 1, а она, как известно, на единицу меньше числа цифр в целой части логарифмируемого числа. Поэтому в числе 1503, взятом из таблиц, мы и отделили два знака целой части.

б) Используя правила логарифмирования степени и корня (п. 26), найдем

Мы получили . Характеристика I найдена так: в промежуточном результате характеристика 2 получилась от сложения и 1 (которая «набежала» от умножения первой цифры 5 мантиссы на 3); далее, число 2 на 5 не делится без остатка; поэтому к 2 мы прибавили , а чтобы не изменить логарифма, тут же прибавили 3 к мантиссе.

Далее,

откуда

Пользуясь десятичными логарифмами, можно также находить логарифмы чисел по произвольному основанию. Рассматривая свойства логарифмов, мы ввели в п. 26 понятие модуля перехода. Именно, модулем перехода от логарифмов по основанию а к логарифмам по основанию b названо число являющееся множителем пропорциональности между логарифмами с основаниями а и b:

Если теперь положить здесь а то логарифм числа N по основанию b выразится через десятичные логарифмы чисел N и b:

Итак, мы получили следующее правило: для вычисления недесятичного логарифма по таблице десятичных логарифмов нужно десятичный логарифм данного числа разделить на десятичный логарифм данного основания.

Число а является модулем перехода от логарифмов по основанию а к логарифмам по основанию 10 (к десятичным логарифмам).

Пример 2. Найти .

Решение, а) В соответствии с формулой (29.1) запишем:

Найдем из таблиц Брадиса и получим

Разделить у этой дроби числитель на знаменатель (чтобы получить ответ в виде десятичной дроби) можно «вручную», а можно опять-таки с помощью таблиц. Обозначим для этого

Далее найдем

Отсюда

б) Имеем

Представим знаменатель этой дроби в естественной форме:

и, таким образом, найдем

(отрицательность логарифма объясняется тем, что число 7,98 и основание 0,993 лежат по разные стороны от единицы (свойство 4 п.26)). Чтобы выполнить деление с помощью таблиц логарифмов, положим

Отсюда

Найдем теперь, что и, следовательно,

Упражнения

1. Вычислить с помощью логарифмических таблиц:

2. Найти: