7. Действия с приближенными числами.

Имеется целый ряд причин, в силу которых практически приходится использовать не точные, а приближенные числовые значения различных величин (условно называемые приближенными числами). Вот некоторые из этих причин. 1) Числа, полученные в результате измерения (эксперимента), естественно представляют собой приближенные значения измеряемых величин по причине несовершенства инструментов, применяемых для измерения. 2) Числа, значения которых определены точно, все же приходится заменять их приближенными значениями. Это очевидно, когда речь идет об иррациональных числах, например и т. д. Но и такое, например, число, как 73/254, при проведении вычислений придется использовать в виде десятичной дроби, сохранив лишь некоторое число ее десятичных знаков после запятой. 3) Часто нет необходимости в получении точного результата и есть смысл провести расчет приближенно, чтобы сократить время, затрачиваемое на вычисление.

При выполнении приближенных вычислений приходится руководствоваться некоторыми правилами, позволяющими получить результат с требуемой степенью точности и без чрезмерных усилий на проведение вычислений. Эти правила основаны на некоторых понятиях и определениях, которые мы здесь кратко приведем.

А. Абсолютная погрешность числа. Если некоторое число (известное точно или нет), число, принимаемое за приближенное значение числа , то абсолютной погрешностью приближенного числа а называют любое число такое, что

Заметим, что абсолютная погрешность здесь не определяется однозначно (то, что мы назвали абсолютной погрешностью, часто называют предельной абсолютной погрешностью).

Так, если то, учитывая, что , можно записать

и каждое из чисел 0,002, 0,01, 0,0016 будет абсолютной погрешностью.

Ясно, что при производстве вычислений в качестве берут по возможности наименьшее из чисел, удовлетворяющих неравенству (7.1).

Величина обычно характеризуется не более чем двумя значащими цифрами (чаще всего даже одной), причем принято величину округлять в сторону увеличения.

Пример 1. Определить абсолютную погрешность, возникающую при замене иррационального числа его приближенным значением 1,73.

Решение. Имеем Заменяя точное число его приближенным значением а, мы допускаем следующую ошибку: .

Ясно, что в расматриваемом случае можно положить (число в соответствии с принятым условием записано с помощью одной цифры и получено путем округления ошибки в сторону увеличения).

Пример 2. Известно, что для некоторого числа его приближенное значение 647,35 найдено с абсолютной погрешностью, равной 0,17. Что можно сказать о точном значении этого числа?

Решение. Неравенство (7.1) равносильно неравенствам

В нашем случае эти неравенства запишутся так:

По исходным данным точное значение искомого числа найти нельзя — можно только указать границы, между которыми оно находится.

Б. Относительная погрешность числа. Абсолютная погрешность числа а, принимаемого за приближенное значение числа не всегда является удобной характеристикой степени точности а в качестве приближения к . Так, погрешность в один метр будет очень грубой ошибкой при измерении длины помещения, но будет рассматриваться как малая ошибка при измерении расстояния между двумя удаленными точками земной поверхности. Дело в том, что обычно важна не сама величина погрешности, а ее отношение к измеряемой (или вычисляемой) величине, часто выражаемое в процентах.

В связи с этим дадим определение: относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности к модулю числа относительная погрешность обозначается через :

На практике точное значение обычно неизвестно, и, учитывая, что, как правило, абсолютная погрешность бывает мала, находят по формуле

(заменяя в знаменателе его приближенным значением а).

Пример 3. За приближенное значение числа иногда принимают 22/7. Какова относительная погрешность этого значения?

Решение. Находим приняв за число 0,0015, найдем и, снова округляя в сторону увеличения, или . Число 22/7 дает приближенное значение с точностью до 0,05%.

В. Значащие цифры числа. Верные и сомнительные цифры. Напомним определение значащей цифры: значащей цифрой приближенного числа называется всякая его цифра, начиная с первой ненулевой цифры (считая слева направо). Например, в числе 0,00030900 первые четыре нуля не являются значащими цифрами (они служат только для указания десятичных разрядов других цифр). Остальные три нуля являются значащими цифрами.

При записи приближенных чисел важно договориться о том, какие цифры (знаки) в этой записи следует считать верными, а какие — сомнительными. В связи с этим примем следующее определение: пусть а есть приближенное число с абсолютной погрешностью тогда любая из значащих цифр числа а называется «верной», если не превосходит пяти единиц разряда, следующего за этой цифрой; остальные значащие цифры числа а называются «сомнительными». Так, например, пусть для приближенного числа будет (см. пример 2). Замечаем, что здесь 0,170,5, и поэтому цифры 6, 4 и 7 являются верными, а цифры 3 и - сомнительными. Этот ответ приобретет большую наглядность, если его сопоставить с неравенствами (7.2).

При расчетах, в которых участвуют приближенные числа, принято сохранять в промежуточных выкладках одну (или две) сомнительную цифру. В конечном результате сомнительные цифры могут быть округлены.

Г. Округление чисел. При замене числа, выражаемого десятичной дробью, дробью с меньшим числом десятичных знаков допускается погрешность, называемая погрешностью округления. Приняты следующие правила округления: если первый из отбрасываемых знаков дроби меньше пяти, то остальные знаки просто отбрасывают, а стоящие перед ними сохраняют.

Если первый из отбрасываемых знаков больше пяти, то предшествующий знак увеличивают на единицу. Если первый из отбрасываемых знаков равен пяти, то пригодно любое из указанных правил, но обычно округление производят так, чтобы последний сохраненный знак стал четным. Примеры округления десятичных дробей:

Такие же правила округления применяются и к целым числам. Если, например, число жителей города равно в данный момент 23 542, то спустя месяц уже бессмысленно указывать единицы и даже десятки в этом числе. Можно написать число жителей округленно как 23 500, но принято записывать 235 -102, чтобы подчеркнуть, что число единиц и десятков неизвестно (а не именно равно нулю, как может показаться при первой записи).

При округлении приближенного числа вносится дополнительная погрешность (погрешность округления), которая складывается с его абсолютной погрешностью. Для того чтобы уменьшить накопление погрешностей округления, в промежуточных результатах обычно сохраняют одну-две сомнительные цифры.

Пример 4. Округлить приближенное число , взятое с абсолютной погрешностью сохранив в результате одну сомнительную цифру.

Решение. В числе а верными являются цифры 9, 6 и 7, а следующая цифра 3 уже сомнительна. Округляем число а по правилу дополнения и получаем новое приближенное число . Чтобы определить его абсолютную погрешность, мы находим, что погрешность округления составляет , складываем эту последнюю с абсолютной погрешностью числа а и получаем 0,179. В полученном числе, округляя его в большую сторону, сохраняем одну значащую цифру и находим для новой абсолютной погрешности т. е. для абсолютной погрешности числа а, следующий результат: Итак, вернувшись к обычным обозначениям, заключаем, что приближенное число полученное при округлении числа 967,358, найдено с абсолютной погрешностью 0,2, причем оно содержит одну (последнюю) сомнительную цифру 4.

Пр и мер 5. Округлить приближенное число взятое с абсолютной погрешностью сохранив только верные цифры (сравнить с примером 3).

Решение. Число а округляем до числа 967. После сложения погрешности округления 0,358 с данной абсолютной погрешностью 0,137 находим число 0,495. Замечаем, что 0,495 < 0,5, а это и означает, что в приближенном числе 967 все цифры верные. Поэтому здесь и в подобных случаях абсолютную погрешность можно явно вообще не указывать.

Д. Погрешность результата арифметических действий. Пусть даны два числа а, b, рассматриваемые как приближенные значения чисел с абсолютными погрешностями соответственно. В этом случае выполняются неравенства

Складывая эти неравенства почленно, получим

Отсюда видно, что является абсолютной погрешностью для суммы чисел а и b: абсолютная погрешность суммы равна сумме абсолютных погрешностей. Это правило верно для алгебраической суммы любого числа слагаемых.

Для умножения и деления принято следующее правило: относительная погрешность произведения (частного) равна сумме относительных погрешностей сомножителей (делимого и делителя). Это правило мы оставим без обоснования.

Пример 6. Стороны треугольника измерены с точностью до 1 мм и оказались равны 17,8 см, 23,6 см, 14,2 см. Найти периметр (т. е. сумму сторон) треугольника.

Решение. Находим см. Так как абсолютная погрешность каждого слагаемого была равна 0,1 см, то погрешность результата может составить 0,3 см. Поэтому периметр Р удовлетворяет неравенствам Ответ в таких случаях часто записывают в виде указывая тем самым возможные границы ошибки.

Пример 7. Ребра прямоугольного параллелепипеда известны с абсолютной погрешностью в см. С какой относительной и абсолютной погрешностью может быть найден объем параллелепипеда?

Решение. Объем прямоугольного параллелепипеда находится по формуле

Относительные погрешности ребер составляют соответственно (с округлением) . При умножении относительные погрешности суммируются: . Объем может быть найден с относительной погрешностью 13%. Читателю предоставляется найти абсолютную погрешность объема.

Приведенные здесь правила позволяют, в принципе, контролировать точность производимых вычислений и предсказать относительную и абсолютную погрешности их результата; при значительном объеме производимых вычислений такой контроль точности становится практически слишком трудоемким и дает, как правило, завышенные значения погрешностей.